Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Αγησίλαος · #81

Βρήκα την μέγιστη κι ελάχιστη τιμή του μέτρου

χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα, ωστόσο γνωρίζω πως ο ενδεδειγμένος τρόπος είναι ο γεωμετρικός. Δεν θυμόμουν τα μήκη των αξόνων στην έλλειψη. Το αποτέλεσμα τελικά, είναι το σωστό. Εγκυμονεί κινδύνους η επιλογή αυτή; Κατά τα άλλα, τα θέματα μου φάνηκαν πολύ ωραία, και κυρίως κλιμακούμενης δυσκολίας

Αγησίλαος · #82

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; (το αιώνιο θέμα!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)

Νομίζω πως και ένα μόνο παράδειγμα συνάρτησης να υπάρχει, ώστε η δεδομένη πρόταση του ερωτήματος να μην ισχύει, αρκεί για να χαρακτηριστεί το ερώτημα ως ΛΑΘΟΣ. Επομένως, δεν μπορώ να καταλάβω γιατί εγείρονται αμφιβολίες για το συγκεκριμένο θέμα

#83

Παρακάτω θα γράψω την προσέγγιση ενός μαθητή (όχι δικού μου) στο θέμα Δ4. Δεν είναι η συντομότερη, αλλά είναι σωστή και ενδιαφέρουσα.

Είναι $\displaystyle{F'(x)=f(x)<0,\ \forall x>0}$ , άρα η $\displaystyle{F}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

Συνεπώς

$\displaystyle{0<\beta<3\beta \Rightarrow F(\beta)>F(3\beta) \Rightarrow F(3\beta)<\frac {F(\beta)+F(3\beta)}{2}<F(\beta)}$ .

Οπότε από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών υπάρχει $\displaystyle{\xi \in (\beta,3\beta)}$ ώστε $\displaystyle{F(\xi)=\frac {F(\beta)+F(3\beta)}{2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow 2F(\xi)=F(\beta)+F(3\beta)}$

Εξ' άλλου η $\displaystyle{F}$ ικανοποιεί τις προυποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\displaystyle{[\beta,\xi]}$ και

$\displaystyle{[\xi,3\beta]}$ , συνεπώς υπάρχουν $\displaystyle{\xi_1 \in (\beta,\xi)}$ και $\displaystyle{\xi_2 \in (\xi,3\beta)}$ ώστε

$\displaystyle{F'(\xi_1)=\frac {F(\xi)-F(\beta)}{\xi-\beta}=\frac {2F(\xi)-2F(\beta)}{2(\xi-\beta)}=\frac {F(\beta)+F(3\beta)-2F(\beta)}{2(\xi-\beta)}=\frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(\xi-\beta)}}$

και

$\displaystyle{F'(\xi_2)=\frac {F(3\beta)-F(\xi)}{3\beta-\xi}=\frac {2F(3\beta)-2F(\xi)}{2(3\beta-\xi)}=\frac {2F(3\beta)-F(\beta)-F(3\beta)}{2(3\beta-\xi)}=\frac {F(3\beta)-F(\xi)}{2(3\beta-\xi)}}$

Αλλά

$\displaystyle{\xi_1<\xi_2 \Rightarrow F'(\xi_1)<F'(\xi_2) \Rightarrow \frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(\xi-\beta)} <\frac {F(3\beta)-F(\beta)}{2(3\beta-\xi)}}$

και επειδή $\displaystyle{F(3\beta)-F(\beta)<0}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac {1}{2(\xi-\beta)} >\frac {1}{2(3\beta-\xi)} \Rightarrow 2\xi-2\beta < 6\beta-2\xi \Rightarrow \xi <2\beta}$

Συνεπώς το $\displaystyle{\xi}$ που ικανοποιεί το ζητούμενο ανήκει στο διάστημα $\displaystyle{(\beta,2\beta)}$ και η μοναδικότητα προκύπτει από το ότι η $\displaystyle{F}$

είναι γνησίως φθίνουσα.

parmenides51 · #84

Δημήτρης Μοσχόπουλος έγραψε:Τα θέματα ήταν "φυσιολογικά", με κλιμακούμενη δυσκολία, όπως αυτή υπήρχε μέχρι προ 3 ή 4 ετών, δηλαδή πολλοί μπορούν να γράψουν (και να περάσουν) το 10, ενώ δεν παρουσιάζονται ιδιαίτερες δυσκολίες για να φτάσει κανείς και στο 15 (αλλά και να το ξεπεράσει χωρίς πολλή και απαιτητική προσπάθεια).

Πολλά δεν θα έλεγα ότι ήταν. Το 2011 και το 2010 ήταν περισσότερα (το 2011 είχαν ΚΑΙ αρκετό γράψιμο ΚΑΙ αξιοσημείωτη δυσκολία, ενώ το 2010 είχαν κατά 95% αρκετό γράψιμο, αλλά όχι ιδιαίτερη δυσκολία).

ΘΕΜΑ Β.
Κλασικά, θέμα μιγαδικών με γεωμετρικούς τόπους και μέγιστη-ελάχιστη τιμή μέτρου. Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; "Όμορφη" έκπληξη η εμφάνιση της έλλειψης, η οποία, παρ' ότι δεν συναντήθηκε όσες φορές και ο κύκλος κατά την προετοιμασία των μαθητών μας μέσα στην χρονιά, εντούτοις δεν παρουσίαζε τίποτα "ύποπτο" ή "ύπουλο".

Β1. Μηδενική δυσκολία.

Β2. Κλασικό πρόβλημα χρήσης της ιδιότητας "μέτρο στο τετράγωνο". Ελάχιστη δυσκολία. Ωραία η γεωμετρική λύση που επίσης μπορούσε να δοθεί, αλλά αρκετά ευφάνταστη για έναν μαθητή. Σαφώς και θα υποστήριζα την λύση αυτή, όμως θεωρώ "φυσιολογικότερη" σκέψη να υψωθούν τα μέλη στο τετράγωνο και να συνεχίσει κανείς με τα κλασικά βήματα που έμαθε σε ίδια θέματα.

Β3. "Ψαρωτική" η έλλειψη, το θέμα ήταν πολύ εύκολο και με κλασικά βήματα για την επίλυσή του. Είτε θέτοντας w = x + yi εξ αρχής (προτεινόμενο) είτε δουλεύοντας με τετράγωνα (περισσότερες και περιττές πράξεις), δεν υπήρχαν εκπλήξεις.
Ως προς την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του |w|, ένα απλό σχήμα και με την μία έβρισκε κανείς τις ζητούμενες τιμές του.

B4. Έχεις βρει δύο γεωμετρικούς τόπους και πιστεύεις ότι δεν θα "συνεργαστούν" σ' ένα ερώτημα; Έλα τώρα… Καμία έκπληξη και σ' αυτό κατ' εμέ. "Όμορφο" και "πονηρούτσικο" θέμα, το οποίο όμως λύνονταν μέσω του σχήματος (η λύση με την χρήση της τριγωνική ανισότητας, παρ' ότι -φυσικά- δεκτή, την κρίνω ως "προχωρημένη" και κάπως "επικίνδυνη").

ΘΕΜΑ Γ.

Κλασικό πρόβλημα σε μονοτονία-εξισώσεις (και ολίγον εμβαδόν). Ποιος δεν έχει κάνει τέτοια θέματα; Δεν νομίζω να υπάρχει κανείς...

Γ1. Ελάχιστη δυσκολία, από τα πλέον κλασικά ζητούμενα στον Διαφορικό Λογισμό. Αν δεν μπορείς να βρεις την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης…

Γ2. Ερώτημα-πάσα από το Γ1. Βρήκες την μονοτονία και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, έχεις τον τύπο της, εκπλήσσεσαι που αυτή θα εμπλακεί σε μία εξίσωση; Επίσης κλασικό ερώτημα, καμία έκπληξη.

Γ3. Κι άλλο κλασικό ερώτημα, από το θέωρημα του Rolle αυτή την φορά ("φωνάζει" για Rolle, έχει f '(x)!).

Γ4. Απλό, βατό πρόβλημα εμβαδού. Ελάχιστη (έως μηδενική) δυσκολία, ακόμη και στον υπολογισμό του ολοκληρώματος.

ΘΕΜΑ Δ.

Δ1. Ζόρικο αρκετά! Απαιτητικό και με κάμποσα "σλάλομ" αιτιολογήσεων. Το ερώτημα που μάλλον αποθάρρυνε πολλά παιδιά στην συνέχεια (αν και δεν θα 'πρεπε, αφού μπορούσαν να το προσπεράσουν -μια και δίνονταν ο τύπος της f(x) στην συνέχεια- και να πάνε στα επόμενα).

Δ2. Ωραίο θέμα ορίων, το οποίο "φωνάζει" για την αντικατάσταση f(x) = y. Από κει και πέρα, τα πράγματα παίρνουν τον δρόμο τους. Μέτριας δυσκολίας θα το χαρακτήριζα.

Δ3. "Να δείξετε ότι είναι κυρτή": χρειαζόταν την βοήθεια του Δ1. Δεν έκανες το Δ1; Χμμμ, έχουμε πρόβλημα… Το έκανες; Η κυρτότητα βγήκε με την μία!
Απόδειξη ανίσωσης: για τον καλά προετοιμασμένο, τα x, 2x, 3x "φώναζαν" ΘΜΤ (δημιουργία των σχετικών διαστημάτων). Αλλιώς… σκούρα τα πράγματα.

Δ4. Κι αυτό "φωνάζει" για Bolzano, αλλά έχει και τις απαιτήσεις του. Σεβαστής δυσκολίας, αλλά όχι τίποτα εξωπραγματικό.

Αυτή είναι η εκτίμησή μου για τα θέματα. Δεν έχω να προσάψω τίποτα κακό στους θεματοδότες, τουναντίον θα έλεγα ότι τα θέματα βοηθούν τους περισσότερους να κάνουν μια αξιοπρεπή εμφάνιση στον στίβο. Εκτιμώ ότι η κλίμακα της βαθμολογίας θα έχει "κατοίκους" σε όλο της το φάσμα, ιδιαίτερα στις "μέσες" βαθμολογίες. Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι συνάδελφοι δίδαξαν τέτοια θέματα, τα οποία χαρακτηρίζονται "κλασικά". Είμαι σίγουρος ότι όλοι οι υποψήφιοι διδάχθηκαν τέτοια θέματα. Η ψυχραιμία ήταν το κλειδί που θα ξεκλείδωνε τις λύσεις. Ακόμη και με "ανεμομαζώματα" (κάνω ό,τι μπορώ, απ' όπου μπορώ και απλά μαζεύω μονάδες), μπορούσε κάποιος να φτάσει σ' έναν αξιοπρεπή βαθμό.

πολύ ωραία και ουσιαστική περιγραφή

Μάκης Χατζόπουλος · #85

..............(έσβησα την απάντησή μου αφού μου λύθηκε η απορία)

edit: Με προλάβατε!! Ναι τις είδα, δεν είχα προλάβει να φτάσω έως εκεί!! Άρα επαυξάνω, άριστες, άρτιες και πλούσιες λύσεις!! Συγχαρητήρια σε όλους!

#86

Μάκη στο τέλος του αρχείου υπάρχουν ΠΟΛΛΕΣ εναλλακτικές λύσεις για ΠΟΛΛΑ ερωτήματα.

Αλέξανδρος

#87

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Στο Γ3 δεν θα ήταν καλύτερο να αναφέρετε και την απόδειξη με το Θεώρημα Bolzano, αντί του Θεωρήματος Rolle για να ξεφύγουμε από την θεωρία των διαφορικών εξισώσεων (που ανήκει έτσι και αλλιώς σε παράγραφο 3.3 εκτός ύλης;);

Υπάρχει ως σχόλιο στο τέλος του αρχείου. Ακριβώς αυτό ήταν και το point της λύσης.Να ξεφύγουμε από τις διαφορικές. Μιάς και εδώ μπορούσαμε...

Α.Κυριακόπουλος · #88

Αγησίλαος έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; (το αιώνιο θέμα!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)
Νομίζω πως και ένα μόνο παράδειγμα συνάρτησης να υπάρχει, ώστε η δεδομένη πρόταση του ερωτήματος να μην ισχύει, αρκεί για να χαρακτηριστεί το ερώτημα ως ΛΑΘΟΣ. Επομένως, δεν μπορώ να καταλάβω γιατί εγείρονται αμφιβολίες για το συγκεκριμένο θέμα

Στα θέματα αυτού του τύπου θα πρέπει να υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση. Διαφορετικά είναι παράλογο να ρωτάμε αν κάτι είναι σωστά ή λάθος, αφού άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος. Για το θέμα αυτό έχω γράψει πάρα πολλές φορές και δεν προτίθεμαι να επανέλθω. Βλέπε εδώ

apotin · #89

Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.

Πόσο "δεσμευτική" είναι η σειρά των 2 ερωτημάτων στην απάντηση;

δλδ μπορεί κάποιος να βρει πρώτα τον τύπο και μετά την παραγωγισιμότητα;

#90

apotin έγραψε:Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.

Πόσο "δεσμευτική" είναι η σειρά των 2 ερωτημάτων στην απάντηση;

δλδ μπορεί κάποιος να βρει πρώτα τον τύπο και μετά την παραγωγισιμότητα;

Καθόλου δεσμευτικό. Παρατήρησε ότι στη λύση που παραθέτουμε παραπάνω το λύνουμε με ακριβώς ανάποδη σειρά (πρώτα βρίσκουμε τον τύπο και μετά αποδεικνύουμε (άμεσο) την παραγωγισιμότητα). Στο τέλος έχουμε και τη λύση εάν θέλουμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμότητα της f χωρίς προηγουμένως να έχουμε βρει τον τύπο της.

Αλέξανδρος

kochris · #91

stathis1214 έγραψε:Εγω στο Δ3 απεδειξα την κυρτοτητα και στη συνεχεια ειπα οτι ισχυει η ανισοτητα jensen συνεπως ισχυουν κλπ κλπ υπαρχει περιπτωση να χασω μοναδες επειδη δεν αναφερεται στο σχολικο???

Θα πρεπει να εξηγησουμε βεβαια γιατι δεν ισχυει η ισοτητα , η jensen εχει και = ...

Κώστας Μαλλιάκας · #92

Στο Β2 εναλλακτικά στις εναλλακτικές λύσεις το ζητούμενο μέτρο είναι η μία διαγώνιος τετραγώνου και το δοσμένο μέτρο η άλλη διαγώνιος τετραγώνου (κανόνας παραλληλογράμμου) οπότε αφού οι διαγώνιοι τετραγώνου είναι ίσες προκύπτει το ζητούμενο.

cristsuk · #93

Βάζω εδώ και τα θέματα των Εσπερινών σε Word.

thymgreg · #94

Αγησίλαος έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; (το αιώνιο θέμα!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)
Νομίζω πως και ένα μόνο παράδειγμα συνάρτησης να υπάρχει, ώστε η δεδομένη πρόταση του ερωτήματος να μην ισχύει, αρκεί για να χαρακτηριστεί το ερώτημα ως ΛΑΘΟΣ. Επομένως, δεν μπορώ να καταλάβω γιατί εγείρονται αμφιβολίες για το συγκεκριμένο θέμα

Προφανώς υπονοούν το "για κάθε" και όχι το "υπάρχει", αλλά αφού επαναλαμβάνεται και συζητιέται το ίδιο θέμα, πόσο κόπο θα τους έκανε να γράψουν κάτι περιφραστικό στην ερώτηση; π.χ. "αν έχουμε δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g τότε πάντα θα ισχύει ..."

apotin · #95

cretanman έγραψε:
apotin έγραψε:Δ1. Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.

Πόσο "δεσμευτική" είναι η σειρά των 2 ερωτημάτων στην απάντηση;

δλδ μπορεί κάποιος να βρει πρώτα τον τύπο και μετά την παραγωγισιμότητα;
Καθόλου δεσμευτικό. Παρατήρησε ότι στη λύση που παραθέτουμε παραπάνω το λύνουμε με ακριβώς ανάποδη σειρά (πρώτα βρίσκουμε τον τύπο και μετά αποδεικνύουμε (άμεσο) την παραγωγισιμότητα). Στο τέλος έχουμε και τη λύση εάν θέλουμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμότητα της f χωρίς προηγουμένως να έχουμε βρει τον τύπο της.

Αλέξανδρος

και εγώ βρήκα τον τύπο πρώτα εδώ

αλλά διαφέρει νομίζω από το

Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ και να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη

kalfokat · #96

exdx έγραψε:Μια άλλη προσέγγιση για το Β2
Έστω $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ οι εικόνες των $\displaystyle{{z_1},{z_2},}$ αντίστοιχα
Τότε $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. - {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} | = \sqrt 2 ,}$ , ενώ το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}{\rm B}}$ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο και $\displaystyle{|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$
Τότε
$\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. + {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} | = 2|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = 2\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 }$

Κι εγώ αυτήν έκανα ως πρώτη λύση

Δεδομένου πως η διαγωνίος τετραγώνου πλευράς 1 αποτέλεσε αιτία διάλυσης της μεγάλης των Πυθαγορείων Σχολής!

Και με την ευκαιρία να πω και την ταπεινή μου γνώμη για τα θέματα..
ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ, αλλά και κακοστημένα. Στο 4ο ΔΕΝ υπήρχε η απαιτούμενη κλιμάκωση δυσκολίας, αλλά ξεκινούσε από το δυσκολότερο και προχωρούσε στα πιο τυποποιημένα. Κι αν δεν με πιστεύετε ή δεν συμφωνείτε, δεν έχετε παρά να δείτε τις λύσεις που έχουν βάλει τα εξαίρετα μέλη του site. Είναι τόσο μπουρδουκλωμένη η σειρά στο 4ο που ακόμη και οι έμπειροι και ικανοί μαθηματικοί που τα έλυσαν ονόμασαν στην απάντηση του Δ1 τη συνάρτηση που όρισαν F, ενώ υπάρχει F στο ερώτημα Δ3.
Μπορεί να μην είναι ουσίας η παρατήρησή μου, αλλά αφενός προσωπικά τονίζω στους μαθητές πως δεν χρησιμοποιούμε, για να ονομάσουμε τα διάφορα βοηθητικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στη λύση, γράμματα που ήδη υπάρχουν στην εκφώνηση, και αφετέρου λύνοντας το πρωί τα θέματα έβαλα κι εγώ F στο Δ1 κι όταν έφτασα στο Δ3 και θέλοντας να τηρήσω αυτά που λέω γύρισα πίσω κι άρχισα να σβήνω...

Με το σχόλιό μου αυτό θέλω να πω ότι το παιδί φτάνοντας στο 4ο και έχοντας ήδη καταβάλει μεγάλη προσπάθεια μέχρι και το 3ο, δεν θα είχε πλέον την καθαρότητα του μυαλού να διαπραγματευτεί ένα θέμα που ξεκινάει με δύσκολο το πρώτο του ερώτημα.
Αυτό δεν είναι κατ' ανάγκην κακό, γιατί μπορεί να γίνει πιο εύκολα η διάταξη των υποψηφίων..
Άλλωστε δεν μιλάμε για εξετάσεις, όπως εσφαλμένα τις αποκαλούμε, αλλά για Διαγωνισμό!
Ό,τι και να πούμε όμως κοντός ψαλμός αλληλούια! Αύριο θα γίνει η ενημέρωση και μεθαύριο θα αρχίσει η διόρθωση.

Καλή συνέχεια στα παιδιά, καλή διόρθωση σε μας..

Α.Κυριακόπουλος · #97

thymgreg έγραψε:
Αγησίλαος έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; (το αιώνιο θέμα!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)
Νομίζω πως και ένα μόνο παράδειγμα συνάρτησης να υπάρχει, ώστε η δεδομένη πρόταση του ερωτήματος να μην ισχύει, αρκεί για να χαρακτηριστεί το ερώτημα ως ΛΑΘΟΣ. Επομένως, δεν μπορώ να καταλάβω γιατί εγείρονται αμφιβολίες για το συγκεκριμένο θέμα
Προφανώς υπονοούν το "για κάθε" και όχι το "υπάρχει", αλλά αφού επαναλαμβάνεται και συζητιέται το ίδιο θέμα, πόσο κόπο θα τους έκανε να γράψουν κάτι περιφραστικό στην ερώτηση; π.χ. "αν έχουμε δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g τότε πάντα θα ισχύει ..."

Τα μαθηματικά είναι αυστηρή επιστήμη. Δεν υπονοείται τίποτα παρά μόνο ότι προκύπτει από αυτά που διαβάζουμε. Αλίμονο αν κάθε φορά ο καθένας υπονοεί ότι νομίζει.

#98

kalfokat έγραψε:
exdx έγραψε:Μια άλλη προσέγγιση για το Β2
Έστω $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ οι εικόνες των $\displaystyle{{z_1},{z_2},}$ αντίστοιχα
Τότε $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. - {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} | = \sqrt 2 ,}$ , ενώ το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}{\rm B}}$ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο και $\displaystyle{|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$
Τότε
$\displaystyle{\left| {{z_1}} \right. + {z_2}| = |\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} | = 2|\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } | = 2\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 }$
Κι εγώ αυτήν έκανα ως πρώτη λύση
Δεδομένου πως η διαγωνίος τετραγώνου πλευράς 1 αποτέλεσε αιτία διάλυσης της μεγάλης των Πυθαγορείων Σχολής!

Και με την ευκαιρία να πω και την ταπεινή μου γνώμη για τα θέματα..
ΑΠΑΙΤΗΤΙΚΑ, αλλά και κακοστημένα. Στο 4ο ΔΕΝ υπήρχε η απαιτούμενη κλιμάκωση δυσκολίας, αλλά ξεκινούσε από το δυσκολότερο και προχωρούσε στα πιο τυποποιημένα. Κι αν δεν με πιστεύετε ή δεν συμφωνείτε, δεν έχετε παρά να δείτε τις λύσεις που έχουν βάλει τα εξαίρετα μέλη του site. Είναι τόσο μπουρδουκλωμένη η σειρά στο 4ο που ακόμη και οι έμπειροι και ικανοί μαθηματικοί που τα έλυσαν ονόμασαν στην απάντηση του Δ1 τη συνάρτηση που όρισαν F, ενώ υπάρχει F στο ερώτημα Δ3.
Μπορεί να μην είναι ουσίας η παρατήρησή μου, αλλά αφενός προσωπικά τονίζω στους μαθητές πως δεν χρησιμοποιούμε, για να ονομάσουμε τα διάφορα βοηθητικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε στη λύση, γράμματα που ήδη υπάρχουν στην εκφώνηση, και αφετέρου λύνοντας το πρωί τα θέματα έβαλα κι εγώ F στο Δ1 κι όταν έφτασα στο Δ3 και θέλοντας να τηρήσω αυτά που λέω γύρισα πίσω κι άρχισα να σβήνω...
Με το σχόλιό μου αυτό θέλω να πω ότι το παιδί φτάνοντας στο 4ο και έχοντας ήδη καταβάλει μεγάλη προσπάθεια μέχρι και το 3ο, δεν θα είχε πλέον την καθαρότητα του μυαλού να διαπραγματευτεί ένα θέμα που ξεκινάει με δύσκολο το πρώτο του ερώτημα.
Αυτό δεν είναι κατ' ανάγκην κακό, γιατί μπορεί να γίνει πιο εύκολα η διάταξη των υποψηφίων..
Άλλωστε δεν μιλάμε για εξετάσεις, όπως εσφαλμένα τις αποκαλούμε, αλλά για Διαγωνισμό!
Ό,τι και να πούμε όμως κοντός ψαλμός αλληλούια! Αύριο θα γίνει η ενημέρωση και μεθαύριο θα αρχίσει η διόρθωση.

Καλή συνέχεια στα παιδιά, καλή διόρθωση σε μας..

Κα Καλφοπούλου.
Βρίσκω τις παρατηρήσεις σας σχετικά με τα θέματα εύστοχες και ουσιαστικές. Θα πρόσθετα για το τελευταίο θέμα πως πέρα από μπουρδουκλωμένο είναι και εξαιρετικά άκομψο. Η παρατήρηση σας όμως σχετικά με το ότι στη λύση του

ετέθη στο Δ1 η βοηθητική συνάρτηση $\displaystyle{F}$ , δεν με βρίσκει σύμφωνο, γιατί δεν υπάρχει θέμα σύγχισης με τα θέματα Δ3 και Δ4, αφού μετά την παραδοχή ότι $\displaystyle{f(x)=e^{-x}(lnx-x)}$ όσα έπονται είναι εντελώς ανεξάρτητα και δεν έχουν σχέση με εκείνα που έχουν προηγηθεί.
Κάποιος μαθητής χωρίς να "πειράξει" τα Δ1 και Δ2 μπορούσε να λύσει τα Δ3 και Δ4 χωρίς κανένα πρόβλημα.

thymgreg · #99

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
thymgreg έγραψε:
Αγησίλαος έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Η ερώτηση ${\rm A}{\rm{ 4}}$ $\varepsilon$ για τις συναρτήσεις π.χ. και $g(x)={{x}^{2}}$ είναι σωστή, ενώ για τις $f(x)={{x}^{3}}$ και $g(x)={{e}^{x}}+2x-1$ με $(\alpha ,\beta )=(0,2)$ ( και όχι μόνο) είναι λάθος.
Τι θα έπρεπε λοιπόν να απαντήσει ένας μαθητής; (το αιώνιο θέμα!!!)
( Νίκο έχεις δίκιο)
Νομίζω πως και ένα μόνο παράδειγμα συνάρτησης να υπάρχει, ώστε η δεδομένη πρόταση του ερωτήματος να μην ισχύει, αρκεί για να χαρακτηριστεί το ερώτημα ως ΛΑΘΟΣ. Επομένως, δεν μπορώ να καταλάβω γιατί εγείρονται αμφιβολίες για το συγκεκριμένο θέμα
Προφανώς υπονοούν το "για κάθε" και όχι το "υπάρχει", αλλά αφού επαναλαμβάνεται και συζητιέται το ίδιο θέμα, πόσο κόπο θα τους έκανε να γράψουν κάτι περιφραστικό στην ερώτηση; π.χ. "αν έχουμε δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g τότε πάντα θα ισχύει ..."
Τα μαθηματικά είναι αυστηρή επιστήμη. Δεν υπονοείται τίποτα παρά μόνο ότι προκύπτει από αυτά που διαβάζουμε. Αλίμονο αν κάθε φορά ο καθένας υπονοεί ότι νομίζει.

Άρα εφόσον δεν προκύπτει κάτι, το θέμα είναι άκυρο.

mathxl · #100

Καλό βράδυ. Γράφω μια λύση για το Δ1 (εύρεση τύπου) σχετικά σύντομη αν και νομίζω ότι έχει δοθεί μέχρι την μέση από την Χρήστο Ν.
Αφού βρούμε το πρόσημο έχουμε
$\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e \Leftrightarrow {\left( {\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e} \right)^\prime } = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e\mathop \Leftrightarrow \limits_{\varepsilon \phi \alpha \rho \mu o\gamma \eta }^{\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta } \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = c \cdot {e^x}}$
Για $\displaystyle{x = 1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{c = 1}$ . Συνεπώς $\displaystyle{\int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e = {e^x}}$ και αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = \int\limits_1^x {\frac{{\ln t - t}}{{f\left( t \right)}}dt} + e}$ (χωρίς να παραγωγίσουμε άρα χωρίς πρώτα να δικαιολογήσουμε την παραγωγισιμότητα) έχουμε $\displaystyle{\frac{{\ln x - x}}{{f\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {\ln x - x} \right)}$ (έμμεσα κάναμε και επαλήθευση). Έπειτα μπορούμε να πούμε για παραγωγισιμότητα.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Η άποψή μου για τα θέματα

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2012

Μέλη σε σύνδεση