Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #21

Επειδή η συλλογή απευθύνεται κυρίως σε μαθητές ή συναδέλφους που θέλουν να οργανώσουν την επανάληψη για τις εξετάσεις, θα πρότεινα ευγενικά τους θεματοδότες, όπου αυτό είναι δυνατόν, να δίνουν τα ζητούμενα σε μορφή ερωτημάτων, όπως περίπου στις εξετάσεις.

Φυσικά, υπάρχουν και πολλές ωραίες ασκήσεις που αν κάποιος τις τεμαχίσει, χάνουν τη γοητεία τους, είτε διότι πρέπει να δοθεί η βοηθητική γραμμή, είτε διότι πρέπει να υποδειχθεί η κατεύθυνση για τη λύση τους . Αυτές λοιπόν τις ασκήσεις ας τις αφήσουμε με ένα ερώτημα, όπως κάναμε παλιότερα και στις εξετάσεις στα σχολεία.

Ως κριτήριο για την επιλογή των ασκήσεων ας έχουμε αυτό το ερώτημα :

'' Θα την έκανα αυτή την άσκηση σε ένα μαθητή μου που πάει για τις εξετάσεις, αν είναι μέτριος και πάνω ; ''

KARKAR · #22

Άσκηση 12
Στην προέκταση των πλευρών

και

του ορθογωνίου ABCD

, παίρνω σημεία S , T

αντίστοιχα ,

ώστε τα S , C , T

να είναι συνευθειακά και $AC\perp ST$ . Φέρω τα κάθετα προς την

τμήματα

και

.

1) Δείξτε ότι τα τρίγωνα CBB'

και

έχουν ίσες γωνίες .

2) Δείξτε ότι CB'=CD'

3) Δείξτε ότι BD= BB'+DD'

#23

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Επειδή η συλλογή απευθύνεται κυρίως σε μαθητές ή συναδέλφους που θέλουν να οργανώσουν την επανάληψη για τις εξετάσεις, θα πρότεινα ευγενικά τους θεματοδότες, όπου αυτό είναι δυνατόν, να δίνουν τα ζητούμενα σε μορφή ερωτημάτων, όπως περίπου στις εξετάσεις.

Φυσικά, υπάρχουν και πολλές ωραίες ασκήσεις που αν κάποιος τις τεμαχίσει, χάνουν τη γοητεία τους, είτε διότι πρέπει να δοθεί η βοηθητική γραμμή, είτε διότι πρέπει να υποδειχθεί η κατεύθυνση για τη λύση τους . Αυτές λοιπόν τις ασκήσεις ας τις αφήσουμε με ένα ερώτημα, όπως κάναμε παλιότερα και στις εξετάσεις στα σχολεία.

Ως κριτήριο για την επιλογή των ασκήσεων ας έχουμε αυτό το ερώτημα :

'' Θα την έκανα αυτή την άσκηση σε ένα μαθητή μου που πάει για τις εξετάσεις, αν είναι μέτριος και πάνω ; ''

Συμφωνώ απόλυτα με την πρόταση -κάλεσμα του Δημήτρη και συνεχίζω με ένα θεματάκι στην ενότητα των μέσων :

ΑΣΚΗΣΗ 13

Στην πλευρά

τριγώνου

παίρνουμε τα σημεία D,E

ώστε

.Φέρνουμε και τη διάμεσο

.

Η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο

.Τα τμήματα BN,DM

τέμνονται στο

.Να αποδείξετε ότι :

α) Η

είναι παράλληλη με την

.

β)

.

γ)

Antonis_Z · #24

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 13

Στην πλευρά τριγώνου παίρνουμε τα σημεία ώστε .Φέρνουμε και τη διάμεσο .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο .Τα τμήματα τέμνονται στο .Να αποδείξετε ότι :

α) Η είναι παράλληλη με την .

β) .

γ)

Μια λύση για την Άσκηση 13 γ) .
Θεωρώ το μέσο της

έστω

.Και

το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

.
Είναι προφανές ότι αρκέι να αποδείξουμε ότι $\frac{NE}{NA}=1/3$ .
Εύκολα βρίσκουμε ότι $\frac{PE}{EC}=\frac{PT}{TA}=1/2$ άρα TE//AC

.
Από το θεώρημα του Θαλή ισχύει ότι $\frac{NE}{NA}=\frac{NT}{NC}$ .Δηλαδή αρκεί $\frac{NT}{NC}=1/3$ .
Έστω

τώρα το σημείο τομής της

με την

.Από το θεώρημα CEVA στο τρίγωνο APC

βρίσκουμε ότι QC=QA

,δηλαδή το

είναι το μέσο της

άρα

είναι το μέσο της

.(1)
Ξέρουμε επίσης ότι $\frac{2}{3}CM=TC=TN+NC=TN+\frac{1}{2}CM\rightarrow TN=\frac{1}{6}CM$ (2).
Άρα: $\frac{TN}{NC}=\frac{\frac{1}{6}CM}{\frac{1}{2}CM}=1/3$ .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Πιο αργή λύση δεν γίνεται(την αφήνω για τον κόπο).

Drama Prinzessin · #25

Επειδή ο dr.tasos έχει αποκλειστεί, μου είπε να αναρτήσω την παρακάτω άσκηση εκ μέρους του.

KARKAR έγραψε:Άσκηση 12
Στην προέκταση των πλευρών και του ορθογωνίου , παίρνω σημεία αντίστοιχα ,

ώστε τα να είναι συνευθειακά και $AC\perp ST$ . Φέρω τα κάθετα προς την τμήματα και .

1) Δείξτε ότι τα τρίγωνα και έχουν ίσες γωνίες .

2) Δείξτε ότι

3) Δείξτε ότι

$\displaystyle{ C_{1}+C_{2}=90^{\circ} (1) }$

$\displaystyle{ C_{1}+B_{1}=90^{\circ} (2) }$

$\displaystyle{ D_{1}+C_{2}=90^{\circ} (3) }$

Από εδώ βγάζω ότι είναι $\displaystyle{ C_{2}=B_{1} \wedge C_{1}=D_{1} }$

2) Φέρω $\displaystyle{ AC }$ κάθετη στην $\displaystyle{ ST }$ όμως είναι προφανώς $\displaystyle{ BB' // DD' }$ άρα το $\displaystyle{ DD'BB' }$ τραπέζιο .

Όμως η $\displaystyle{ AC }$ διέρχεται απο το μέσο της $\displaystyle{ DB }$ και είναι παράλληλη προς τις δύο βάσεις άρα θα διέρχεται και από το μέσο της απέναντι .

Άρα το ζητούμενο έπεται .

γ) $\displaystyle{ DB=2ZB=2ZC=2 \cdot \frac{DD'+BB'}{2}=DD'+BB' }$ Άρα απεδείχθη

#26

Drama Prinzessin έγραψε:Επειδή ο dr.tasos έχει αποκλειστεί, μου είπε να αναρτήσω την παρακάτω άσκηση εκ μέρους του.

Άσκηση 12

$\displaystyle{ C_{1}+C_{2}=90^{\circ} (1) }$

$\displaystyle{ C_{1}+B_{1}=90^{\circ} (2) }$

$\displaystyle{ D_{1}+C_{2}=90^{\circ} (3) }$

Απο δω βγαζω οτι ειναι $\displaystyle{ C_{2}=B_{1} \wedge C_{1}=D_{1} }$

2) Φερω $\displaystyle{ AC }$ καθετη στην $\displaystyle{ ST }$ ομως ειναι προφανως $\displaystyle{ BB' // DD' }$ αρα το $\displaystyle{ DD'BB' }$ τραπεζιο .

Ομως η $\displaystyle{ AC }$ διερχεται απο το μεσο της $\displaystyle{ DB }$ και ειναι παραλληλη προς τις δυο βασεις αρα θα διερχεται και αποτ ο μεσο της απεναντι .

αρα το ζητουμενο επεται .

γ) $\displaystyle{ DB=2ZB=2ZC=2 \cdot \frac{DD'+BB'}{2}=DD'+BB' }$ αρα απεδειχθη

Ναι , αλλά γιατί αποφεύγετε τους τόνους στις λέξεις ; Μάλλον θα τους παρέλλειψε ο dr.tasos, υποθέτω.

Αν είναι τόσος κόπος να βάζουμε έναν τόνο, αργότερα πρέπει σιγά-σιγά να αποφεύγουμε τα γράμματα,μετά τις λέξεις και τέλος να γράφουμε και να μιλάμε !

Δεν μπορώ όμως να ξέρω αν αυτό θα μας σώσει ως χώρα ή ως άτομα ! Η νέα γενιά πρέπει να σκεφτεί σοβαρά για την πατρίδα , πιο πολύ από όσο εμείς , που ''μάλλον'' αποτύχαμε !Αλλιώς πρέπει από πολύ νωρίς να ψάχνει για πατρίδα, κάτι που πολλοί νέοι έχουν αρχίσει ήδη να κάνουν και δεν τους αδικώ !

Μπάμπης

Drama Prinzessin · #27

Ναι, όπως μου το έστειλε ο τάσος, το παρέθεσα.
Έκανα επεξεργασία.

#28

Drama Prinzessin έγραψε:Ναι, όπως μου το έστειλε ο τάσος, το παρέθεσα.
Έκανα επεξεργασία.

Τώρα σε συγχαίρω και το αξίζεις με το παραπάνω , διότι το έκανες γρήγορα και μάλιστα για έναν φίλο.

Σου εύχομαι καλές διαποπές και Καλή Ανάσταση !

Μπάμπης

orestisgotsis · #29

ΠΕΡΙΤΤΑ

Drama Prinzessin · #30

Από τον dr.taso πάλι.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

Στην πλευρά τριγώνου παίρνουμε τα σημεία ώστε .Φέρνουμε και τη διάμεσο .

Η ευθεία τέμνει την στο σημείο .Τα τμήματα τέμνονται στο .Να αποδείξετε ότι :

α) Η είναι παράλληλη με την .

β) .

γ)

α) Στο $\displaystyle{ ABE }$ είναι :

$\displaystyle{ M }$ μέσο $\displaystyle{ AB }$
$\displaystyle{ D }$ μέσο $\displaystyle{ BE }$

Άρα το $\displaystyle{ MD // AE \Rightarrow MK//AN }$ ως τμήματα.

β) Αρκεί $\displaystyle{ K }$ μέσο του $\displaystyle{ MK }$ όμως στο $\displaystyle{ ABN }$ είναι $\displaystyle{ M }$ μέσο $\displaystyle{ AB }$ όμως είναι προφανώς $\displaystyle{ MK// AN }$ Άρα θα είναι και το $\displaystyle{ K }$ μέσο της $\displaystyle{ BN }$

#31

ΑΣΚΗΣΗ 14

Δίνεται τετράγωνο ABCD

. Πάνω στις πλευρές

και

παίρνουμε τα σημεία

και

αντιστοίχως έτσι ώστε να είναι AE=DF

(Τα σημεία

και

δεν πέφτουν πάνω στις κορυφές του τετραγώνου)

(α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ABE

και

είναι ίσα.

(β) Αν

είναι το σημείο τομής των ευθειών

και

είναι το μέσον του

, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο KTC

είναι ισοσκελές.

(γ) Να εξετέσετε αν η ευθεία

είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος

dr.tasos · #32

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14

Δίνεται τετράγωνο . Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία και αντιστοίχως έτσι ώστε να είναι
(Τα σημεία και δεν πέφτουν πάνω στις κορυφές του τετραγώνου)

(α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.

(β) Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και και είναι το μέσον του , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

(γ) Να εξετέσετε αν η ευθεία είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος

Συγκρίνω τα ορθογώνια $\displaystyle{ ADF \; \; and \; \; \; ABE }$

$\displaystyle{ DF=AE }$ και $\displaystyle{ AB=AD }$ άρα ίσα λόγω Π-Γ-Π

b) Το $\displaystyle{ BFC }$ ορθογώνιο αρα είναι $\displaystyle{ FK =\frac{BF}{2} }$ ομως και το $\displaystyle{ BTF }$ είναι ορθογώνιο αφού $\displaystyle{ A_{1}+F_{1}=90^{\circ} }$ όμως λόγω της προηγούμενης ισότητας είναι $\displaystyle{ F_{1}=E_{2} }$ θα πάει $\displaystyle{ A_{1}+E_{2}=90^{\circ} }$ αρα ως κατακορυφήν $\displaystyle{ BTF=90^{\circ} }$ αρα θα είναι και $\displaystyle{ TK=\frac{BF}{2} }$ άρα το $\displaystyle{ KTC }$ ισοσκελές .

c) Το είχα αρχικά λάθος αλλα μετα απο υποδειξη για την χρήση ατόπου απο τον κύριο Δημήτρη επανέρχομαι .

Έστω ότι ήταν μεσοκάθετος άρα θα στο τετράπλευρο $\displaystyle{ TKCF }$ οι διαγώνιοι θα διχοτομουνταν και τέμνονταν κάθετα άρα
θα ήταν ρόμβος . άρα θα ήταν $\displaystyle{ FT=FC }$ όμως $\displaystyle{ AF>DC=AD }$ αφού ειναι απέναντι από την ορθή . Είναι επίσης $\displaystyle{ AT<DF=AE \Leftrightarrow -AT>-DF}$ αφού είναι η υποτείνουσα στο $\displaystyle{ ATE }$ (ορθογώνιο ) Άρα αθροίζοντας κατά μέλη θα πάρω $\displaystyle{ AF>DC }$ δηλαδή άτοπο .

Edit:

#33

dr.tasos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14

Δίνεται τετράγωνο . Πάνω στις πλευρές και παίρνουμε τα σημεία και αντιστοίχως έτσι ώστε να είναι
(Τα σημεία και δεν πέφτουν πάνω στις κορυφές του τετραγώνου)

(α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα.

(β) Αν είναι το σημείο τομής των ευθειών και και είναι το μέσον του , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

(γ) Να εξετέσετε αν η ευθεία είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος

c) Το είχα αρχικά λάθος αλλα μετα απο υποδειξη για την χρήση ατόπου απο τον κύριο Δημήτρη επανέρχομαι .

Έστω ότι ήταν μεσοκάθετος άρα θα στο τετράπλευρο $\displaystyle{ TKCF }$ οι διαγώνιοι θα διχοτομουνταν και τέμνονταν κάθετα άρα
θα ήταν ρόμβος . άρα θα ήταν $\displaystyle{ FT=FC }$ όμως $\displaystyle{ AF>DC=AD }$ αφού ειναι απέναντι από την ορθή . Είναι επίσης $\displaystyle{ AT<DF=AE \Leftrightarrow -AT>-DF}$ αφού είναι η υποτείνουσα στο $\displaystyle{ ATE }$ (ορθογώνιο ) Άρα αθροίζοντας κατά μέλη θα πάρω $\displaystyle{ AF>DC }$ δηλαδή άτοπο .

Edit:

Υπάρχει ακόμα ένα μικρό λαθάκι: Στο τετράπλευρο TKCF

διχοτομείται μόνο η μία διαγώνιος, οπότε δεν είναι ρόμβος.
Κατά τα υπόλοιπα (διορθώνοντας μόνο το τυπογραφικό στο τέλος, όπου η πρόσθεση κατά μέλη δίνει TF>FC

) η απόδειξη που έκανες είναι σωστή. Δεν ήταν απαραίτητο να έλεγες ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος, αφού το ότι FT=FC

που υπέθεσες στην αρχή, εξασφαλίζεται από την υπόθεση που έκανες ότι η ευθεία

είναι μεσοκάθετος της

.

KARKAR · #34

Άσκηση 15
Οι άνισοι κύκλοι (O,R)

και $(K,\rho)$ , εφάπτονται εξωτερικά στο

. Σημείο

κινείται επί του (O)

και σημείο

επί του

, ώστε οι χορδές

και

να σχηματίζουν την

κυρτή γωνία $\widehat{SAT}=\theta$ . Οι εφαπτόμενες των κύκλων στα S , T

τέμνονται στο

.

1) Πως θα βρούμε τη θέση του

, ώστε να είναι $\widehat{S}=\widehat{T}$ ?

2) Ποιό πρέπει να είναι το μέτρο της $\theta$ , ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο ;

3) Μπορεί το τετράπλευρο να γίνει ρόμβος ;

#35

Αν και με τα εγγράψιμα οι μαθητές μας δεν προλαβαίνουν να εξοικειωθούν, βάζω ένα θέμα απλά για το αρχείο ή για το Σεπτέμβριο.Θα μπορούσα να ζητήσω απευθείας το ερώτημα γ), χωρίς δηλαδή να δοθούν τα σημεία Μ και Ν, όπως ακριβώς στο περιοδικό GM που βρήκα την άσκηση , αλλά και τώρα έχει νομίζω ότι η άσκηση έχει κάποιο ενδιαφέρον.

ΑΣΚΗΣΗ 16

Δίνεται τετράγωνο ABCD

, σημείο

στην πλευρά

και σημείο

στην πλευρά

,έτσι ώστε η γωνία BAE

να είναι

και η γωνία DAZ

να είναι

.Οι

τέμνουν την

στα σημεία N,M

αντίστοιχα.Να αποδειχθεί ότι :

α) Το τετράπλευρο ADZN

είναι εγγράψιμο και $ZN\perp AE$ .

β) $\angle AEM=45^0$ .

γ) Η γωνία AEZ

είναι ίση με 75^0

δ) Αν τα τμήματα EM,ZN

τέμνονται στο

, τότε $AP\perp EZ$ .

Μπάμπης

mathlete23 · #36

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16

Δίνεται τετράγωνο , σημείο στην πλευρά και σημείο στην πλευρά ,έτσι ώστε η γωνία να είναι

και η γωνία να είναι .Οι τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα.Να αποδειχθεί ότι :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και $ZN\perp AE$ .

β) $\angle AEM=45^0$ .

γ) Η γωνία είναι ίση με

δ) Αν τα τμήματα τέμνονται στο , τότε $AP\perp EZ$ .

Μπάμπης

α) Θα ισχύει: $\displaystyle \angle ZAN=90^{o}-30^{o}-15^{o}=45^{o}=\angle NDZ$ , και άρα το $\displaystyle ADZN$ είναι εγγράψιμο. Από αυτήν ακριβώς την εγγραψιμότητα προκύπτει και ότι $\displaystyle \angle ANZ=180^{ο}-\angle ADZ=90^{o}$ , δηλαδή $\displaystyle ZN \perp AE$ .
β) Θα είναι: $\displaystyle \angle MAE=45^{o}=\angle MBE$ , που σημαίνει ότι και το $\displaystyle AMEB$ είναι εγγράψιμο. Άρα και $\displaystyle \angle AME=180^{o}-\angle ABE= 90^{o}$ , και έτσι $\displaystyle \angle AEM=180^{o}-\angle MAE-\angle AME=180^{o}-45^{o}-90^{o}=45^{o}$ .
γ) Από το β) προκύπτει ότι το $\displaystyle MNEZ$ είναι εγγράψιμο, διότι $\displaystyle \angle MZN=\angle AZN=\angle ADN=45^{o}=\angle AEM$ . Έτσι και $\displaystyle \angle AEZ=\angle AEM+\angle MEZ=45^{o}+\angle ZND=45^{o}+\angle DAZ=45^{o}+30^{o}=75^{o}$ .
δ) Έχουμε ήδη δει ότι $\displaystyle ZN\perp AE$ , $\displaystyle EM\perp AZ$ . Άρα στο τρίγωνο $\displaystyle AZE$ το Ρ είναι ορθόκεντρο, και αναγκαστικά και $\displaystyle AP \perp ZE$ .

mathlete23 · #37

KARKAR έγραψε:Άσκηση 15
Οι άνισοι κύκλοι και $(K,\rho)$ , εφάπτονται εξωτερικά στο . Σημείοκινείται επί του

και σημείο επί του , ώστε οι χορδές και να σχηματίζουν την

κυρτή γωνία $\widehat{SAT}=\theta$ . Οι εφαπτόμενες των κύκλων στα , τέμνονται στο .

1) Πως θα βρούμε τη θέση του , ώστε να είναι $\widehat{S}=\widehat{T}$ ?

2) Ποιό πρέπει να είναι το μέτρο της $\theta$ , ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο ;

3) Μπορεί το τετράπλευρο να γίνει ρόμβος ;

α) Παρατηρούμε ότι τα $\displaystyle O,A,K$ θα πρέπει να είναι συνευθειακά. Φέρνοντας την ΟΑΚ έχουμε ότι, αν ονομάσουμε φ την $\displaystyle \angle S$ , τότε θα είναι και $\displaystyle \angle SOA=2\phi$ , ως επίκεντρη στην εγγεγραμένη που θα ήταν ίση με την γωνία χορδής εφαπτομένης. Θα πρέπει λοιπόν και
$\displaystyle \angle AKT=2\phi$ , έτσι ώστε και $\displaystyle \angle T=\angle S=\phi$ . Δηλαδή, για κάθε θέση του $\displaystyle T$ μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να προσδιορίσουμε το κατάλληλο $\displaystyle S$ .

β) Θα πρέπει σίγουρα να είναι $\displaystyle \angle S=\angle T=\phi$ , και άρα στην ευθεία $\displaystyle OAK$ θα ισχύουν:
$\displaystyle \theta +\angle SAO+ \angle TAK=180^o \Leftrightarrow \theta +2\frac{180-2\phi}{2}=180^o \Leftrightarrow \theta+180^{0}-2\phi=180^o \Leftrightarrow\theta=2\phi$ , διότι τα τρίγωνα $\SAO, TAK$ είναι ισοσκελή.
Όμως θα είναι και $\displaystyle \theta=180^{o}-\phi$ . Έτσι θα είναι τελικά και $\displaystyle 3\phi=180^o \Leftrightarrow \phi=60^o$ , και εύκολα καταλήγουμε στο ότι $\displaystyle \theta=120^o$ .

γ) Θα πρέπει το σχήμα να είναι και παραλληλόγραμμο, και έτσι γνωρίζουμε από το β) ότι θα είναι $\displaystyle \theta=120^o$ και $\displaystyle \phi=60^o$ . Όμως, αν είναι $\displaystyle SA=AT$ , τότε τα τρίγωνα $\displaystyle SOA, AKT$ δεν είναι δυνατό να είναι όμοια, όπως απαιτούμε σύμφωνα με τις παραπάνω διαπιστώσεις μας(θα πρέπει όλες τους οι γωνίες να είναι ίσες), καθώς αναγκαστικά $\displaystyle \frac{SA}{AT}=\frac{R}{\rho}$ , και από υπόθεση $\displaystyle R\neq \rho \Leftrightarrow SA\neq AT$ . Άρα το τετράπλευρο δεν μπορεί να είναι ρόμβος.

ΑΡΣΕΝΟΗ · #38

Καλημέρα.

Θα θέλα να ζητήσω απο τα παιδιά που απαντάνε τις ασκήσεις, να βάζουν και σε παράθεση την εκφώνηση ώστε να διευκολυνθούν και οι αναγνώστες.

Ευχαριστώ

Φιλικά-Αρσενόη

Υ.Γ: Εάν δεν έχω δίκιο απλά μη το κάνετε...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #39

ΑΡΣΕΝΟΗ έγραψε:Καλημέρα.

Θα θέλα να ζητήσω απο τα παιδιά που απαντάνε τις ασκήσεις, να βάζουν και σε παράθεση την εκφώνηση ώστε να διευκολυνθούν και οι αναγνώστες.

Ευχαριστώ

Φιλικά-Αρσενόη

Έχεις δικιο, είναι πιο λειτουργικές έτσι.

Drama Prinzessin · #40

Άσκηση 17

Έστω $A\Delta$ το ύψος ενός τριγώνου ΑΒΓ με $\hat B > \hat \Gamma$ και $\hat {\rm B} \ne 90^\circ$ .

Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των AΒ, AΓ, ΒΓ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι το τετράπλευρο ΔΚΛΜ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μέλη σε σύνδεση