απορία σε ανισότητα

mixalis_i · #1

Γεια σας, σε μια άσκηση που προσπαθώ να λύσω δεν ξέρω τι να κάνω σε μια ανισότητα. Η άσκηση λέει:

Έστω $f:R\rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση με $1\leq f(x)\leq 2,x\in [0,1]$ και $\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{3}{2}$ . Nα δείξετε ότι $\int_{0}^{1}{\frac{1}{f(x)}dx}\leq \frac{3}{4}$ . Γενικά μπορώ να χρησιμοποιήσω την ανισότητα που δίνει και να την αντιστρέψω, ώστε μετά να ολοκληρώσω; Μπορώ δηλαδή μια ανισότητα αν έχει μέσα της συνάρτηση να της συμπεριφερθώ σαν να είχε μεταβλητές

; Δηλαδή $1\leq f(x)\leq 2\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{f(x)}\geq \frac{1}{2}$ . Έτσι δεν βγαίνει το αποτέλεσμα που θέλει...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

Έχουμε $\displaystyle{1 \le f(x) \le 2 \Rightarrow (f(x) - 1)(f(x) - 2) \le 0 \Rightarrow {f^2}(x) - 3f(x) + 2 \le 0\mathop \Rightarrow \limits^{f(x) > 0} f(x) - 3 + \frac{2}{{f(x)}} \le 0}$

Οπότε $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {f(x) - 3 + \frac{2}{{f(x)}}} \right)dx \le 0} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f(x)dx - \int\limits_0^1 {3dx + \int\limits_0^1 {\frac{2}{{f(x)}}dx \le 0 \Rightarrow 2\int\limits_0^1 {\frac{1}{{f(x)}}dx \le 3 - \frac{3}{2} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{1}{{f(x)}}dx \le \frac{3}{4}} } } } } }$

mixalis_i · #3

Ευχαριστώ πολύ για την λύση, αλλά η απορία μου μένει..αυτό που έκανα εγώ είναι λάθος;; Μπορώ να χρησιμοποιήσω ιδιότητες από ανισότητες όταν έχω συναρτήσεις σ' αυτές τις ανισότητες; Δηλαδή ισχύει $1\leq f(x)\leq 2\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{f(x)}\geq \frac{1}{2}$ ;;

Νικος Αντωνόπουλος · #4

Στα Μαθηματικά, δεν σημαίνει ότι κάθε δρόμος με αφετηρία τα δεδομένα που ακολουθεί έγκυρα, από μαθηματική σκοπιά, βήματα, θα μας οδηγήσει στο σωστό αποτέλεσμα. Απλά, θα μας οδηγήσει σε κάτι που είναι σωστό, χωρίς κατ’ ανάγκη να είναι το ζητούμενο, που συμβαίνει συχνά ίδιως όταν, όπως εδώ, δεν αξιοποιήσουμε όλα τα δεδομένα.
Έτσι, αν για παράδειγμα μας έδιναν τη συνάρτηση $f(x)=\sin x+\cos x$ και μας ζητήσουν να αποδείξουμε ότι έχει σύνολο τιμών το διάστημα $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ και γράφαμε:
«Για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό x ισχύει $-1\le \sin x\le 1$ και $-1\le \cos x\le 1$ οπότε $-2\le \sin x+\cos x\le 2$ » τότε, ενώ δεν θα είχαμε κάνει κανένα λάθος, δεν θα είχαμε βρει το σύνολο τιμών της συνάρτησης, αλλά ένα ευρύτερο σύνολο το οποίο φυσικά περιέχει το $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ .

απορία σε ανισότητα

απορία σε ανισότητα

Re: απορία σε ανισότητα

Re: απορία σε ανισότητα

Re: απορία σε ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση