Γεωπονική Σχολή 1950

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

GMANS · #2

Κάνοντας απαλοιφή προκύπτει :

$(\alpha +\beta )(\beta +\gamma )(\gamma +\alpha )[(x-\alpha )(x-\beta )+(x-\beta )(x-\gamma )+(x-\gamma )(x-\alpha )]=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )[(\alpha +\beta )(\beta +\gamma )+(\beta+\gamma )(\gamma +\alpha )+ (\gamma +\alpha )(\alpha +\beta )] \Leftrightarrow (x-\alpha -\beta -\gamma )[(\alpha +\beta )(\alpha +\gamma )(x-\beta )(x-\gamma )+(\beta +\alpha )(\beta +\gamma )(x-\alpha )(x-\gamma )+(\gamma +\alpha )(\gamma +\beta )(x-\alpha )(x-\beta )]=0\Leftrightarrow {x=\alpha +\beta +\gamma \acute{\eta }(\alpha +\beta )(\alpha +\gamma )(x-\beta )(x-\gamma )+(\beta +\alpha )(\beta +\gamma )(x-\alpha )(x-\gamma )+(\gamma +\alpha )(\gamma +\beta )(x-\alpha )(x-\beta )=0}$ Για το πολυώνυμο :

$P(x)=(\alpha +\beta )(\alpha +\gamma )(x-\beta )(x-\gamma )+(\beta +\alpha )(\beta +\gamma )(x-\alpha )(x-\gamma )+(\gamma +\alpha )(\gamma +\beta )(x-\alpha )(x-\beta )$

παρατηρούμε

$P(\alpha )P(\beta )P(\gamma )=-(\alpha +\beta )^2(\beta +\gamma )^2(\gamma +\alpha )^2(\alpha -\beta )^2(\beta -\gamma )^2(\gamma -\alpha )^2<0$ άρα δύo από τους $P(\alpha ),P(\beta ),P(\gamma )$ είναι ετερόσημοι οπότε από το θεώρημα Bolzano το τριώνυμο P(x)

Έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $(\gamma ,\alpha )$ οπότε είναι

$\Delta \geq 0$ όμως το P(x)

παίρνει ετερόσημες τιμές επομένως δεν μπορεί
$\Delta = 0$ άρα είναι $\Delta \> 0$ άρα το πολυώνυμο P(x)

έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες διαφορετικές από τα α,β,γ . Τελικά η αρχική εξίσωση έχει τρείς πραγματικές ρίζες από τις οποίες μία είναι η $x=\alpha +\beta +\gamma$

Γεωπονική Σχολή 1950

Γεωπονική Σχολή 1950

Re: Γεωπονική Σχολή 1950

Μέλη σε σύνδεση