f (f (f (x))) = x

ipaper · #1

βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει f (f (f (x))) = x

.

#2

Για κάθε τέτοια

ορίζουμε ένα κατευθυνόμενο γράφημα με σύνολο κορυφών το $\mathbb{R}$ όπου έχουμε μια κατευθυνόμενη ακμή από το

στο

αν και μόνο αν f(x) = y

. Παρατηρούμε από το δεδομένο ότι το γράφημα είναι ένωση κύκλων μήκους είτε 1 (σταθερά σημεία) είτε 3 με κάθε $x \in \mathbb{R}$ να ανήκει σε ακριβώς ένα κύκλο. Αντιστρόφως κάθε κατευθυνόμενο γράφημα στο $\mathbb{R}$ που είναι ένωση κύκλων μήκους 1 ή 3 με κάθε $x \in \mathbb{R}$ να ανήκει σε ακριβώς ένα κύκλο, η συνάρτηση που ορίζεται από f(x) = y

αν το

είναι το μοναδικό στοιχείο του $\mathbb{R}$ για το οποίο υπάρχει κατευθυνόμενη ακμή από το

, έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

#3

ipaper έγραψε:βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει .

Το ίδιο πράγμα λέω με τον Δημήτρη αλλά κάπως διαφορετικά

Οι συνεχείς λύσεις της παραπάνω συναρτησιακής είναι εύκολο να βρεθούν :

Η

εύκολα αποδεικνύεται 1-1 και λόγω της συνέχειας θα είναι γνησίως μονότονη.

Από τη δεδομένη σχέση, εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Θα αποδείξουμε ότι $f(x)=x,\ \forall x \in \Bbb{R}$ .

Έστω ότι για κάποιο x_0

έχουμε $f(x_0)>x_0 \Rightarrow f(f(x_0))>f(x_0) >x_0$

$\Rightarrow f(f(f(x_0)))>f(f(x_0))>f(x_0)>x_0 \Rightarrow x_0>x_0$ , άτοπο.

Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι f(x_0)<x_0

.

Τώρα για τις μη συνεχείς λύσεις τα πράγματα γίνονται κάπως "σκούρα"

Σίγουρα είναι άπειρες και μάλιστα υπεραριθμήσιμα άπειρες.

Ένας τρόπος παραγωγής τέτοιων λύσεων (Τον είπε και ο Δημήτρης) είναι να πάρουμε έναν οποιονδήποτε πραγματικό

και να ορίσουμε την

στον κύκλο a,a+1,a+2

ως εξής $a \to a+1 \to a+2 \to a$ και εκτός του κύκλου f(x)=x

.

Έτσι έχουμε υπεραριθμήσιμα άπειρες λύσεις (πλήθος ίσο με αυτό του συνεχούς), αλλά είναι οι μοναδικές;

f (f (f (x))) = x

f (f (f (x))) = x

Re: f (f (f (x))) = x

Re: f (f (f (x))) = x

Μέλη σε σύνδεση