Όριο ακολουθίας (03)

#1

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\sqrt[\nu]{|{\sin{\nu}}|}}\,,\;\nu\in\mathbb{N}$ .

Σημείωση: Δεν έχω βρει μια λύση.

chrislg · #2

βοηθάει αυτό ; http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonomet ... efinitions

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #4

Μία μη στοιχειώδης απόδειξη που βρήκα. Ελπίζω να είναι σωστή. Θα αποδείξουμε ότι το όριο είναι

.

Εστω ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε, για κάποιο $\epsilon$ με $0 < \epsilon < 1$ θα υπάρχει άπειρο πλήθος

με $| \sin n| < \epsilon^n$ .

Εστω το $k_n \in \mathbb{Z}$ για το οποίο $\displaystyle{n \in \left[ k_n \pi - \frac{\pi}{2}, k_n \pi + \frac{\pi}{2} \right]}$ . Τότε, για άπειρο πλήθος

, ισχύει $| \sin (n - k_n \pi)| < \epsilon^n \implies |n - k_n \pi | < \sin^{-1} \left( \epsilon^n \right)$ . Αλλά, για κάθε r > 0

και για αρκετά μεγάλα

, ισχύει $\displaystyle{\sin^{-1} \left( \epsilon^n \right) < 2 \epsilon^n < \frac{1}{n^r}}$ .

Αρα, για κάθε r > 0

υπάρχει άπειρο πλήθος ζευγών (n, k_n)

με $\displaystyle{ |n - k_n \pi | < \frac{1}{n^r}}$ .
Αυτό σημαίνει πως ο $\pi$ είναι αριθμός Liouville, το οποίο έχει αποδειχθεί ψευδές (βλ. παραπομπή 1).

Ωστε, $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| \sin n|} = 1}$ .

1. Mahler, K. "On the Approximation of pi." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953.

Zarifis · #5

Μια ιδέα που είχα φυσικά δεν πιστεύω πως είναι σωστή αλλά μαρέσει να προσπαθώ.(Μαθητής λυκείου)

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\sqrt[\nu]{|{\sin{\nu}}|}}$
Έστω το όριο $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\sqrt[\nu]{|{\sin{\nu}}|+2}}$ . To οποίο πλησιάζει στο άπειρο με το προηγούμενο.
Το οποίο γίνεται $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}e^\frac{\ln{(|{\sin{\nu}}|+2)}}{\nu}$ .
Το οποίο είναι ίσον με 1.

#6

Zarifis έγραψε: Έστω το όριο $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{\nu\rightarrow{+\infty}}{\sqrt[\nu]{|{\sin{\nu}}|+2}}$ . To οποίο πλησιάζει στο άπειρο με το προηγούμενο.

Χμμμ. Το προηγούμενο δεν λέει αυτό...

#7

Έχουμε δει παρόμοια εδώ.

Όριο ακολουθίας (03)

Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Re: Όριο ακολουθίας (03)

Μέλη σε σύνδεση