ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

perpant · #101

Ευχαριστούμε parmenides.

#102

parmenides και πάλι ένα μεγάλο ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ για την υπέροχη προσφορά σου.

dennys · #103

PARMENIDIS ευχαριστούμε ειλικρινά για την υπέροχη ,παρουσίαση .
Να είσαι πάντα καλά.
dennys

xaranton · #104

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 43η

Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση και η συνάρτηση $g:R\rightarrow R$ με την ιδιότητα $g(x)f^{2}(x)=e^{x}g(x)+1$ για κάθε $x\in R$ και .

Α) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ .

β) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)$

γ) Να δείξετε ότι $g(0)\leq- 1$

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $(x-1)(e^{x}+x)[g(x)+e^{x}]=x[f(x-1)+x]$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.

Στο ερώτημα δ) ...και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα;;;

parmenides51 · #105

xaranton έγραψε:
pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 43η

Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση και η συνάρτηση $g:R\rightarrow R$ με την ιδιότητα $g(x)f^{2}(x)=e^{x}g(x)+1$ για κάθε $x\in R$ και .

Α) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ .

β) Να βρείτε το $lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)$

γ) Να δείξετε ότι $g(0)\leq- 1$

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $(x-1)(e^{x}+x)[g(x)+e^{x}]=x[f(x-1)+x]$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.

Στο ερώτημα δ) ...και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα;;;

δες εδώ (είχα δώσει και νωρίτερα την συγκεκριμένη παραπομπή εδώ)

parmenides51 · #106

Έχεις δίκιο margk.

dr.tasos · #107

cretanman έγραψε:
pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46η

Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f(x)-f(y)=f(\frac{x}{y})$ για κάθε και η εξίσωση που έχει μοναδική ρίζα.

α) Να βρείτε το

β) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται.

γ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x^{2}-2)+f(x)=f(5x-6)$

δ) Αν για κάθε , να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$ .
α) Για παίρνουμε οπότε αφού η εξίσωση έχει λύση το 1 άρα αυτή είναι και η μοναδική λύση της.

β) Έστω με . Θέτουμε στην αρχική όπου και και παίρνουμε $f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=f(x_1)-f(x_2)$ άρα $f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=0$ και επειδή το 1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης άρα πρέπει $\dfrac{x_1}{x_2}=1$ απ' όπου . Άρα η είναι 1-1 και αντιστρέφεται.

γ) Προφανώς για να ορίζoνται τα και πρέπει και δηλαδή τελικά $x>\sqrt{2}$ .
Με αυτή την προϋπόθεση η εξίσωση γράφεται και αφού , η τελευταία σχέση με τη βοήθεια της αρχικής γράφεται: $f(x^2-2)=f\left(\dfrac{5x-6}{x}\right)$ και επειδή η είναι 1-1 γράφεται ισοδύναμα δηλαδή λύνοντας την τριτοβάθμια παίρνουμε ή ή απ' όπου κρατάμε μόνο την .

δ) Έστω με . Τότε για και στην αρχική παίρνουμε $f(x_2)-f(x_1)=f\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)<0$ διότι $\dfrac{x_2}{x_1}>1$ . Άρα συνεπώς η είναι γνησίως φθίνουσα.

Αλέξανδρος

Εδώ γιατι δεν κρατάμε την $\displaystyle{ x=1 }$ που προφανως επαληθευει την εξισωση ;;

$\displaystyle{ f(-1)=f(-1) }$

που ισχυει

perpant · #108

pito έγραψε:
Έστω η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow R$ για την οποία ισχύει ...

γ) Προφανώς για να ορίζoνται τα και πρέπει και δηλαδή τελικά $x>\sqrt{2}$ .
Με αυτή την προϋπόθεση η εξίσωση γράφεται και αφού , η τελευταία σχέση με τη βοήθεια της αρχικής γράφεται: $f(x^2-2)=f\left(\dfrac{5x-6}{x}\right)$ και επειδή η είναι 1-1 γράφεται ισοδύναμα δηλαδή λύνοντας την τριτοβάθμια παίρνουμε ή ή απ' όπου κρατάμε μόνο την .

Καλημέρα. Η απάντηση στην ερώτηση σου είναι αυτό που γράφει η Μυρτώ παραπάνω. Δηλαδή:
Προφανώς για να ορίζoνται τα f(5x-6)

και

πρέπει

και

δηλαδή τελικά $x>\sqrt{2}$ .

pap65 · #109

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
alexandropoulos έγραψε:Ασκηση 53
Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f\left(x+f\left( y\right) \right)=f\left(x \right)+y+1$ για κάθε $x,y\epsilon R$ .
Να δειχθεί ότι :
α. η είναι αντιστρέψιμη.
β. ισχύει $f\left(2x \right)=f\left(x \right)+f^-^1(x)+1$ .
γ. η δεν είναι περιττή.
δ.

(α) Θέτοντας $\displaystyle{x=0}$ στην δοσμένη σχέση, έχουμε $\displaystyle{f(f(y))=f(0)+y+1}$
Έστω τώρα $\displaystyle{y_{1},y_{2} ER}$ με $\displaystyle{f(y_{1})=f(y_{2})\Rightarrow f(0)+y_{1}+1=f(0)+y_{2}+1\Rightarrow y_{1}=y_{2}}$ για κάθε $\displaystyle{y_{1},y_{2} ER}$
Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι "1-1"" και άρα αντιστρέφεται.

(β) Στην δοσμένη σχέση αν θέσουμε όπου $\displaystyle{y}$ το $\displaystyle{f^{-1}(x)}$ θα έχουμε:

$\displaystyle{f(x+f(f^{-1}(x))=f(x)+f^{-1}(x)+1}$ και άρα $\displaystyle{f(x+x)=f(x)+f^{-1}(x)+1}$ δηλαδή $\displaystyle{f(2x)=f(x)+f^{-1}(x)+1}$

(γ) Αν η $\displaystyle{f}$ ήταν περιττή στο $\displaystyle{R}$ τότε θα ήταν $\displaystyle{f(0)=0}$ . Θέτοντας όμως στην δοσμένη σχέση $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε:

$\displaystyle{f(f(0)=f(0)+1}$ και άρα $\displaystyle{f(0)=0+1}$ δηλαδή $\displaystyle{0=1}$ που είναι άτοπο. Άρα η $\displaystyle{f}$ δεν είναι περιττή

(δ) Από το (β) ερώτημα, αν θέσουμε $\displaystyle{x=0}$ έχουμε: $\displaystyle{f(0)=f(0)+f^{-1}(0)+1}$ και άρα $\displaystyle{f^{-1}(0)=-1}$ και άρα $\displaystyle{f(-1)=0}$

Για το β) δεν χρειάζεται να δείξουμε ότι το Σύνολο Τιμών της f είναι όλο το R;

blazestone · #110

ΑΣΚΗΣΗ 71

Να βρεθούν όλα τα α ετσι ώστε για όλα τα $x\textless{}0$ να ισχύει η ανισότητα :

$ax^2 - 2^x \textgreater{} 3a - 1$

blazestone · #111

ΑΣΚΗΣΗ 72

Έστω συνάρτηση $f: ℝ^+ \rightarrow ℝ$ . έτσι ώστε $|(1+2x^2)f(x) + x^2|\leq x ,∀ x\in ℝ^+$ . Να βρεθεί το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ .

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση