Προπόνηση για το διαγωνισμό Καγκουρό

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Στον Παγκόσμιο διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ" παίρνουν μέρος χιλιάδες μαθητές της Χώρας μας από τα Δημοτικά, τα Γυμνάσια και τα Λύκεια και η εμπειρία όσων από εμάς εμπλεκόμαστε με αυτόν τον διαγωνισμό, είναι ότι για τα παιδιά η μέρα του διαγωνισμού είναι μια μέρα που την περιμένουν 'οπως περιμένουν μια γιορτή. Στην γιορτή αυτή συμμετέχουν και οι γονείς των μικρών κυρίως μαθητών. Ο διαγωνισμός αυτός αναμφισβήτητα συμβάλλει ώστε να αυξηθεί το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά και να αγαπήσουν αυτό το μάθημα.

Για να προπονηθούν οι μαθητές σε τέτοια θέματα και για να πάρουν μια καλή εικόνα όσοι δεν έχουν λάβει μέρος στο παρελθόν στον διαγωνισμό, ανοίγουμε αυτό το θέμα κυρίως για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου .


Για την Γ και Δ Δημοτικού

ΑΣΚΗΣΗ 1: Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μετά τον ο οποίος έχει το ίδιο άθροισμα ψηφίων με τον ;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

ΑΣΚΗΣΗ 2: Σε έναν ίσιο δρόμο υπάρχουν 9 δέντρα, το ένα μετά το άλλο. Το κάθε δέντρο απέχει μέτρα από τα γειτονικά του. Ο Γιώργος περπάτησε από το πρώτο δέντρο μέχρι το τελευταίο. Πόσα μέτρα περπάτησε συνολικά;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

Για την Ε και ΣΤ Δημοτικού

ΑΣΚΗΣΗ 3: Ένα καγκουρό κάνει πηδήματα σε δευτερόλεπτα. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να κάνει πηδήματα;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

[Μάκης Χατζόπουλος]

Μήπως Δημήτρη το θέμα σου μπήκε κατά λάθος στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά ή κάνεις χιούμορ;

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Μάκη καλημέρα.

Ο διαγωνισμός αυτός δεν είναι όπως της ΕΜΕ. Στόχος του πιστεύω ότι είναι η τόνωση του ενδιαφέροντος των μαθητών με έναν τρόπο που είναι διασκεδαστικός και τα θέματα είναι τα περισσότερα έτσι επιλεγμένα ώστε να μην χρειάζονται ειδικές γνώσεις αλλά κάτι σαν σπαζοκεφαλιές. Αυτό αρέσει πάρα πολύ στους μαθητές και γιαυτό παρατηρείται πολύ μεγάλη συμμετοχή στον διαγωνισμό.

Γιαυτό τον λόγο το έβαλλα σε αυτόν τον φάκελλο.

[Μάκης Χατζόπουλος]

Θα συμφωνήσω Δημήτρη και θα συμμετέχω στην όμορφη κίνησή σου!!

Τάξη Α΄ - Β΄ Λυκείου

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω αριθμοί είναι ρητοί

α)

edit β)

γ)

Σημείωση: Έσβησα ένα διπλό που ήταν στο υπόρριζο και το 20011 το έκανα στο οικείο 2011, άρα είναι άθροισμα διαδοχικών περιττών όρων. Ευχαριστώ Δημήτρη!

[Mihalis_Lambrou]

Για Πέμπτη και Εκτη Δημοτικού, από τους πρόσφατους διαγωνισμούς Κασγκουρό:

1)

Κάποια χρονιά ο μήνας Μάρτιος περιείχε 5 Δευτέρες, 5 Τρίτες και 5 Τετάρτες. Ποιο από τα
παρακάτω είναι σίγουρα σωστό για τον μήνα Απρίλιο εκείνης της χρονιάς;


Α) Περιείχε ακριβώς 3 Παρασκευές Β) Περιείχε ακριβώς 4 Σάββατα
Γ) Περιείχε ακριβώς 5 Κυριακές Δ) Περιείχε ακριβώς 5 Τετάρτες
Ε) Η παραπάνω κατάσταση είναι αδύνατη

........

2)


Σε μια σπηλιά της Παραμυθίας ζούνε δράκοι με δύο κεφάλια, με τρία κεφάλια και με τέσσερα κεφάλια. Οι δράκοι με τα τρία κεφάλια λένε πάντα ψέματα ενώ τα δράκοι με δύο ή με τέσσερα κεφάλια λένε πάντα την αλήθεια. Μια μέρα μαζεύτηκαν τρεις δράκοι. Ο πρώτος είπε "μεταξύ μας έχουμε 11 κεφάλια", ο δεύτερος είπε "μεταξύ μας έχουμε 9 κεφάλια" και ο τρίτος είπε "μεταξύ μας έχουμε 8 κεφάλια". Ποιος δράκος είπε την αλήθεια;

Α) κανένας Β) ο πρώτος Γ) ο δεύτερος
Δ) ο τρίτος Ε) δεν μπορούμε να ξέρουμε

[Pellumbi]

ΑΣΚΗΣΗ 1 : Ο πιο μικρός από τους αριθμούς είναι ο

[T-Rex]

ΑΣΚΗΣΗ 2: Σε έναν ίσιο δρόμο υπάρχουν 9 δέντρα, το ένα μετά το άλλο. Το κάθε δέντρο απέχει μέτρα από τα γειτονικά του. Ο Γιώργος περπάτησε από το πρώτο δέντρο μέχρι το τελευταίο. Πόσα μέτρα περπάτησε συνολικά;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ περπάτησε 64 μέτρα γιατί το τελευταιο δένδρο δεν θα το μετρήσουμε

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για Πέμπτη και Εκτη Δημοτικού, από τους πρόσφατους διαγωνισμούς Κασγκουρό:

1)

Κάποια χρονιά ο μήνας Μάρτιος περιείχε 5 Δευτέρες, 5 Τρίτες και 5 Τετάρτες. Ποιο από τα
παρακάτω είναι σίγουρα σωστό για τον μήνα Απρίλιο εκείνης της χρονιάς;


Α) Περιείχε ακριβώς 3 Παρασκευές Β) Περιείχε ακριβώς 4 Σάββατα
Γ) Περιείχε ακριβώς 5 Κυριακές Δ) Περιείχε ακριβώς 5 Τετάρτες
Ε) Η παραπάνω κατάσταση είναι αδύνατη

Φαίνεται πολύ απλό αλλά είναι μια πολύ καλή "σπαζοκεφαλιά" για μικρούς μαθητές

Ο μήνας Μάρτιος είχε Δευτέρες, Τρίτες , Τετάρτες , Πέμπτες , Παρασκευές , Σάββατα και Κυριακές (σύνολο ημέρες,
Αν η Πρώτη Μαρτίου ήταν Κυριακή, τότε Κυριακή θα ήταν και στις Μαρτίου οπότε θα είχαμε Κυριακές. Αλλά υπάρχουν όπως είδαμε μόνο Κυριακές.
Άρα αποκλείεται ο μήνας Μάρτιος να αρχίζει από Κυριακή.
Από τον παραπάνω συλλογισμό, καταλαβαίνουμε ότι ο μήνας Μάρτιος πρέπει να αρχίζει από Δευτέρα. Τότε στις Μαρτίου θα είναι Δευτέρα, στις Μαρτίου θα είναι Τρίτη, στις Μαρτίου θα είναι Τετάρτη και άρα ο Απρίλιος θα αρχίζει με Πέμπτη, ενώ ο Μάρτιος θα είχε πράγματι από Δευτέρες, Τρίτες και Τετάρτες.

Πάμε τώρα:

Την Απριλίου θα ήταν Πέμπτη

Στις Απριλίου θα ήταν πάλι Πέμπτη

Στις Απριλίου πάλι Πέμπτη

Στις Απριλίου πάλι Πέμπτη

Στις Απριλίου πάλι Πέμπτη

Άρα μέχρι Απριλίου, ο μήνας αυτός θα είχε Πέμπτες και από τέσσερις φορές όλες τις άλλες ημέρες. Οπότε στις Απριλίου (που είναι και το τέλος του μήνα αυτού), θα ήταν Παρασκευή.

'Αρα ο μήνας Απρίλιος θα είχε ακριβώς Πέμπτες και Παρασκευές ενώ υπήρχαν ακριβώς από φορές όλες οι άλλες ημέρες. Άρα υπήρχαν ακριβώς και Σάββατα

Συνεπώς σωστή απάντηση ήταν η Β)

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Α και Β Γυμνασίου

Σε ένα ίσιο μονοπάτι φύτεψαν τριανταφυλλιές και από τις δύο πλευρές του. Η κάθε τριανταφυλλιά ήταν μέτρα μακρυά από τις διπλανές της. Αν το μονοπάτι είναι μέτρα μήκος πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

[T-Rex]

Για την Α και Β Γυμνασίου

Σε ένα ίσιο μονοπάτι φύτεψαν τριανταφυλλιές και από τις δύο πλευρές του. Η κάθε τριανταφυλλιά ήταν μέτρα μακρυά από τις διπλανές της. Αν το μονοπάτι είναι μέτρα μήκος πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 22 Τριανταφυλλιές 11 από κάθε πλευρά του δρόμου γιατι η τελευταία δεν μετράει

[xr.tsif]

Για την Α και Β Γυμνασίου

Σε ένα ίσιο μονοπάτι φύτεψαν τριανταφυλλιές και από τις δύο πλευρές του. Η κάθε τριανταφυλλιά ήταν μέτρα μακρυά από τις διπλανές της. Αν το μονοπάτι είναι μέτρα μήκος πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν;

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)

Οι τριανταφυλλιές για να πιάσουν θέλουν νερό.
Αν η βρύση απέχει 4 μέτρα από την 1η τριανταφυλλιά (στην ίδια ευθεία) και κάθε φορά ποτίζει ένα φυτό (έχει ένα μικρό δοχείο)
Πόσα μέτρα θα κάνει συνολικά ο κηπουρός για να ποτίσει όλες τις τριανταφυλιές;

Χρήστος

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Πάρα πολύ ωραία η προσθήκη που έκανε ο Χρήστος στην παραπάνω άσκηση (που είχε μπει στον διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ" το 2007). Πιστεύω ότι θα μπορέσουν να την απαντήσουν οι μαθητές μας.

Και ένα ακόμα θέμα:

Για την Γ Γυμνασίου και την Α Λυκείου (από την εύκολη ομάδα ασκήσεων)

Τρία παιδιά έχουν μαζί μπάλες. Αν ο Βασίλης δώσει μπάλες στον Γιάννη, ο Γιάννης δώσει μπάλες στην Άννα και η Άννα δώσει στον Βασίλη, τότε τα παιδιά θα έχουν ίσο αριθμό από μπάλες.
Πόσες μπάλες έχει αρχικά η Άννα;

Α) , Β) , Γ), Δ) , Ε)

Κώδικας: Επιλογή όλων

[T-Rex]

Ο Βασιλης ειχε 13 γιατι ειναι σαν να έδωσε 3 μπάλες γιατί έδωσε 5 και πήρε 2 και τώρα έχει 10
ο Γιώργος είχε 9 γιατί έδωσε 4 και πήρε 5 σαν να πήρε 1 μπάλα και τώρα έχει 10
Η Αννα είχε 8 γιατι έδωσε 2 και πήρε 4 δηλαδή σαν να πήρε 2 και τωρα έχει 10

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Πάντα ο Τ-Rex μας δίνει ωραίες λύσεις και με πολύ ωραίες εικόνες.

Το επόμενο θέμα (δικής μου κατασκευής) το προτείνω για μαθητές Α και Β Γυμνασίου

Σε ένα αγρόκτημα , τα κουνέλια είναι τόσα, όσα είναι τα πόδια των αλόγων και τα άλογα είναι όσα τα πόδια από τα κοκόρια.
Αν όλα μαζί τα ζώα είναι περισσότερα από και λιγότερα από , τότε τα κουνέλια είναι:

Α) , Β) περισσότερα από 18 και λιγότερα από 27 , Γ) , Δ) , Ε) Κανένα από τα προηγούμενα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Τάξη Α΄ - Β΄ Λυκείου

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω αριθμοί είναι ρητοί

α)

edit β)

γ)

Για το (β) (Άνετο θέμα για μαθητές Β Λυκείου και λίγο δύσκολο για Α Λυκείου)

Η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το και διαφορά

Ο νιοστός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο:



Επίσης το άθροισμα των πρώτων όρων δίνεται από τον τύπο:



Άρα πράγματι έχουμε ρητό αριθμό.

Για το (γ) πρέπει να γνωρίζουμε ότι

και άρα έχουμε πάλι ρητό αριθμό.


Για το (α) Μάκη, όποτε έχεις χρόνο δώσε μας την λύση, γιατί με ζάλησε αυτός ο αριθμός που είναι μέσα στην ρίζα

[T-Rex]

[
α)

]

είναι το κόλπο με το 111111... μέχρι 9 φορες το 1 δηλαδη 11χ11=121 111χ111=12321 , 1111χ1111=1234321
και 111111111χ111111111=12345678987654321

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΜΠΡΑΒΟ T-Rex

[Μάκης Χατζόπουλος]

Σωστό T-Rex! Επίσης (ως ένα σημείο) γίνεται και με ανάλυση γινομένου πρώτων παραγόντων... (κάποια στιγμή έγραψε την λύση ο Artelmos, σωστή, αλλά την έσβησε!!)

[Pellumbi]

Πάντα ο Τ-Rex μας δίνει ωραίες λύσεις και με πολύ ωραίες εικόνες.

Το επόμενο θέμα (δικής μου κατασκευής) το προτείνω για μαθητές Α και Β Γυμνασίου

Σε ένα αγρόκτημα , τα κουνέλια είναι τόσα, όσα είναι τα πόδια των αλόγων και τα άλογα είναι όσα τα πόδια από τα κοκόρια.
Αν όλα μαζί τα ζώα είναι περισσότερα από και λιγότερα από , τότε τα κουνέλια είναι:

Α) , Β) περισσότερα από 18 και λιγότερα από 27 , Γ) , Δ) , Ε) Κανένα από τα προηγούμενα

Νομίζω η απάντηση είναι το Γ)

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για την Α και Β Γυμνασίου (δικής μου κατασκευής, λίγο δύσκολη νομίζω)


'Ενα πλοίο ξεκίνησε για ένα ταξείδι με επιβάτες με τρόφιμα ακριβώς όσα χρειάζονταν για το ταξείδι.
Μετά από λίγες ημέρες συνάντησε ναυαγούς. Για να φτάσουν για όλους τα τρόφιμα, παρατήρησαν ότι έπρεπε να μειώσουν το φαγητό που θα έτρωγε κάθε επιβάτης κατά % για κάθε ημέρα.
Ο αριθμός των ναυαγών που συνάντησαν ήταν:

Α) , Β) , Γ) , Δ) , Ε)