Εξίσωση

mathxl · #1

Μια αναπάντητη. Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^{1-\arctan{x}}+\arctan(e^{x}-1)=2$ είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

#2

Βασίλη ...SXXL

, αν εννοούμε τα πρωτεύοντα ορίσματα ή γενικότερα ορίσματα ίδιας κλάσης, την έχω, αλλιώς δε το βλέπω ακόμα ...

mathxl · #3

Κώστα καλό μεσημέρι. Έτσι την βρήκα. Φαντάζομαι ότι δεν εννοεί πρωτεύοντα ορίσματα.
Κάποιες ιδέες που μπορώ να παραθέσω είναι σε hide

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Πρέπει να εννοεί πρωτεύοντα ορίσματα. Επειδή η συνάρτηση $x \mapsto \arctan(x)$ είναι αύξουσα, από την ανισότητα $e^x - 1 \geqslant x$ έχουμε $\arctan(e^x - 1) \geqslant \arctan(x)$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $e^{1 - \arctan(x)} + \arctan(x) \geqslant 2$ .

Θα δείξουμε ότι $e^{1-y} + y \geqslant 2$ για κάθε $y \in \mathbb{R}$ . (Αρκεί βέβαια να δειχθεί μόνο για $|y| < \pi/2$ .)

Έστω $f(y) = e^{1-y} + y$ . Τότε $f{'}(y) = e^{1-y} - 1$ και άρα η

είναι φθίνουσα στο $(-\infty,1]$ και αύξουσα στο $[1,+\infty)$ . Άρα $f(y) \geqslant f(1) = 2$ για κάθε $y \in \mathbb{R}$ όπως θέλαμε να δείξουμε.

Ωχ, τώρα πρόσεξα ότι θέλουμε αυστηρή ανισότητα. Έχουμε $e^{1 - \arctan(x)} + \arctan(e^x - 1) \geqslant e^{1 - \arctan(x)} + \arctan(x) \geqslant 2$ . Από την πρώτη παράγραφο, η αριστερή ανισότητα ισχύει μόνο αν x = 0

. Σε αυτήν την περίπτωση όμως έχουμε $e^{1 - \arctan(x)} + \arctan(e^x - 1) = e + 1 > 2$ .

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση