Εξισώσεις στους ακεραίους

mathxl · #1

Ζήλεψα από τον Μπάμπη

.
1)
Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση $x^{2}y+2x^{2}-y-17=0$

#2

mathxl έγραψε:1) Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση $x^{2}y+2x^{2}-y-17=0$

Η εξίσωση γράφεται ως

$\displaystyle{x^2=1+\frac{15}{y+2}.}$ Άρα πρέπει $\displaystyle{y+2=1,3,5,\pm 15,}$ αφού $\displaystyle{\frac{y+17}{y+2}\geq 0.}$

Από εδώ βρίσκουμε για το $\displaystyle{y}$ τις τιμές $\displaystyle{y=-1,1,3,13,-17.}$

Αν $\displaystyle{y=-1,}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^2=16}$ άρα $\displaystyle{x=\pm 4.}$

Αν $\displaystyle{y=1}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^2=6,}$ αδύνατη στο $\displaystyle{\mathbb{Z}.}$

Αν $\displaystyle{y=3}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^2=4}$ άρα $\displaystyle{x=\pm 2.}$

Αν $\displaystyle{y=13}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x^2=2,}$ αδύνατη στο $\displaystyle{\mathbb{Z}.}$

Αν $\displaystyle{y=-17}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x=0.}$

pito · #3

Πολύ ωραία ιδέα! ( Κύριε Μάγκο

τα συγχαρητήριά μου προλάβατε να την σκεφτείτε και να την γράψετε μέσα σε 8

λεπτά!)

mathxl · #4

Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη
2)
$x^{2}+13x=y^{2}-26$ πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.

sokratis lyras · #5

Για

έχω

και για

αδύνατη.
Παραγοντοποιώντας έχω:

$\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( y+2 \right)=15$
Όμως 15=1*3*5

και αφού

πρέπει:

άρα

και

ή

άρα

και

.
Ομοίως βρίσκουμε και τις αρνητικές λύσεις.

Φιλικά,
Σωκράτης

#6

mathxl έγραψε:Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη $x^{2}+13x=y^{2}-26$ πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{x^2+13x+26-y^2=0.}$

Αυτή έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D=4y^2+65}$ και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{z}$ ώστε

$\displaystyle{4y^2+65=z^2,}$ ή αλλιώς $\displaystyle{(2y-z)(2y+z)=-65.}$

Γράφοντας το $\displaystyle{-65}$ ως γινόμενο υπό τη μορφή $\displaystyle{-1\cdot 65}$ ή $\displaystyle{1\cdot (-65)}$ ή $\displaystyle{-3\cdot 15}$ ή $\displaystyle{3\cdot (-15)}$ βρίσκουμε για το $\displaystyle{y}$ τις τιμές $\displaystyle{y=\pm 2,\pm 16}$ και τότε τα αντίστοιχα $\displaystyle{x}$ είναι $\displaystyle{-2,-11}$ και $\displaystyle{x=-23,10.}$ Όλα τα ζεύγη ικανοποιούν και την αρχική.

Τελικά οι λύσεις είναι οι

$\displaystyle{(-2,2),(2,-2),(-11,2),(-11,-2),(10,16),(10,-16),(-23,16),)(-23,-16).}$

mathxl · #7

Ο άλλος τρόπος που έχω υπόψη μου είναι αυτός του Σωκράτη, δηλαδή παραγοντοποίηση με γινόμενο κάποιον ακέραιο με βολικούς διαιρέτες

mathxl έγραψε: $x^{2}+13x=y^{2}-26$ πάλι στους ακεραίους

$\displaystyle{{x^2} + 13x + 26 - {y^2} = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 2 \cdot 2x \cdot 13 + {13^2} - {13^2} + 104 - 4{y^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left( {2x + 13} \right)^2} - 4{y^2} = 65 \Leftrightarrow \left( {2x + 13 - 2y} \right)\left( {2x + 13 + 2y} \right) = 5 \cdot 13}$

κτλ

mathxl · #8

και μια τρίτη στην παρέα.
3)
Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους $3xy+9y=9+3x+x^{2}$

#9

mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους $3xy+9y=9+3x+x^{2}$

Φανερά ο $\displaystyle{x}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ . Ας είναι λοιπόν $\displaystyle{x=3z.}$

Τότε, η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{z^2+z+1=yz+y}$ δηλαδή $\displaystyle{(z+1)(y-z)=1.}$

Από εδώ είναι $\displaystyle{z+1=y-z=1}$ ή $\displaystyle{z+1=y-z=-1.}$

Βρίσκουμε $\displaystyle{y=1,z=0}$ ή $\displaystyle{y=-3,z=-2.}$

Άρα, τελικά $\displaystyle{x=0,y=1}$ ή $\displaystyle{x=-6,y=-3.}$

#10

mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους $3xy+9y=9+3x+x^{2}$

Είναι φανερό ότι 3|x

άρα

οπότε αντικαθιστώντας, η εξίσωση γράφεται

x_1y+y=1+x_1+x_1^2

δηλαδή $y=1+x_1-\displaystyle\frac{x_1}{x_1+1}$ (είναι $x_1\neq -1$ )

Όμως (x_1,x_1+1)=1

άρα πρέπει $x_1+1=\pm 1$ δηλαδή x_1=0

ή

Αν

τότε

και

Αν

τότε

και

Αλέξανδρος

mathxl · #11

4)
Να λυθει στους ακεραίους και αυτή $2(x^{3}+xy+y^{3})=3(x+y)$

#12

mathxl έγραψε:Να λυθει στους ακεραίους και αυτή $2(x^{3}+xy+y^{3})=3(x+y)$

Θέτουμε $\displaystyle{x=a+b,y=a-b}$ με $\displaystyle{a,b}$ ακέραιους. Τότε, η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{b^2=\frac{2a^3+a^2-3a}{1-6a}.}$

Πρέπει να ισχύει $\displaystyle{\frac{2a^3+a^2-3a}{1-6a} \geq 0 \Rightarrow a\in \Big(-\frac{3}{2},0\Big]\cup \Big(\frac{1}{6},1\Big]}$ .

Επειδή $\displaystyle{a\in \mathbb{Z},}$ είναι $\displaystyle{a=0,1,-1.}$

Βρίσκουμε αντίστοιχα $\displaystyle{b^2=0,0,\frac{2}{7}.}$ Άρα $\displaystyle{b=0.}$

Άρα προκύπτουν οι τιμές $\displaystyle{x=y=0,x=y=1.}$

Αρχιμήδης 6 · #13

Και εγώ τις ίδιες βρήκα . Απλά να προσθέσω στην λύση του κυρίου Θάνου ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε για κάθε ζεύγος ακεραίων (x,y)

να υπάρχουν ακέραιοι a,b

ώστε

,

είναι να ισχύει x=ymod2

. Οπότε στην περίπτωση μας δικαιολογείται η ύπαρξη των (a,b)

γιατί πάντα σύμφωνα με την εξίσωσή μας x=ymod2

. (Aν ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός η εξίσωση δεν έχει λύσεις . )
Για να μην κάνουμε αυτή την διαδικασία θα μπορούσαμε απλά να θέσουμε x+y=a

,

...

Αρχιμήδης 6 · #14

5)
Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς : x+y=(x-y)^2

#15

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :

Ας θέσουμε $\displaystyle{x-y=a\in \mathbb{Z},}$ οπότε $\displaystyle{x=y+a.}$

Η εξίσωση γράφεται τότε, $\displaystyle{2y+a=a^2}$ δηλαδή $\displaystyle{y=\frac{a(a-1)}{2}.}$

Το ότι ο $\displaystyle{y}$ στην παραπάνω σχέση είναι ακέραιος, είναι φανερό, αφού το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος.

Επομένως βρίσκουμε για το $\displaystyle{x,}$

$\displaystyle{x=a+y=\frac{a(a+1)}{2}.}$

Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα ζευγάρια $\displaystyle{\Big(\frac{a(a+1)}{2},\frac{a(a-1)}{2}\Big), a\in \mathbb{Z}}$ ικανοποιούν την αρχική.

Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";

Αρχιμήδης 6 · #16

Σωστά Θάνο. Να σημειωθεί ότι η εξίσωση προτάθηκε για την ουσία των λύσεων που είναι οι τριγωνικοί αριθμοί . Όι τριγωνικοί αριθμοί είναι ης μορφής n(n+1)/2

και η ιδιότητα των τριγωνικών αριθμών είναι η εξίσωση που προτάθηκε για επίλυση . Για 2 διαδοχικούς τριγωνικούς x,y

ισχύει

.

#17

6)
Να λυθεί στους ακεραίους: $\displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2003.}$

#18

socrates έγραψε:Να λυθεί στους ακεραίους: $\displaystyle{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2003.}$

Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση

$\displaystyle{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=2003.}$

Επειδή ο $\displaystyle{2003}$ είναι πρώτος και ισχύει $\displaystyle{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0,}$ υπάρχουν οι δυνατότητες

α) $\displaystyle{a+b+c=1,a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=2003,}$

β) $\displaystyle{a+b+c=2003,a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1.}$

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε $\displaystyle{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1}$ και $\displaystyle{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=2003,}$

άρα $\displaystyle{3(ab+bc+ca)=-2002,}$ άτοπο, αφού ο $\displaystyle{2002}$ δε διαιρείται από το $\displaystyle{3}$ .

Στη δεύτερη περίπτωση, η 2η σχέση γράφεται $\displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2.}$

Από εδώ φαίνεται ότι πρέπει δύο από τα τρία τετράγωνα να ισούνται με $\displaystyle{1}$ και το 3ο με $\displaystyle{0.}$

Ας είναι π.χ. $\displaystyle{a=b,}$ οπότε $\displaystyle{(a-c)^2=(b-c)^2=1,}$ δηλαδή $\displaystyle{a-c=1}$ ή $\displaystyle{a-c=-1.}$

Για $\displaystyle{a-c=1,}$ από την άλλη εξίσωση έχουμε $\displaystyle{3c=2001,}$ άρα $\displaystyle{c=667,}$ οπότε $\displaystyle{a=b=668.}$

Αν $\displaystyle{a-c=-1,}$ η άλλη εξίσωση γράφεται $\displaystyle{3c=2005,}$ αδύνατη, αφού το $\displaystyle{2005}$ δε διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ .

Άρα, τελικά οι λύσεις της αρχικής είναι η $\displaystyle{(668,668,667)}$ και οι μεταθέσεις της.

EDIT* Αφού έγραψα τη λύση παρατηρώ ότι αντί για $\displaystyle{x,y,z}$ έγραφα $\displaystyle{a,b,c.}$

#19

7)
Άλλη μια (λίγο πιο δύσκολη

): $\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x=y^{2}+y. }$

mathxl · #20

matha έγραψε:

Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";

Καλή ιδέα θα βάλω και αρίθμηση σε κάθε άσκηση για να μην χάσουμε την μπάλα.

Εξισώσεις στους ακεραίους

Εξισώσεις στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Re: Εξίσωση στους ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση