Ταυτότητες και διανύσματα

christodoulou · #1

Ισχύει η ταυτότητα $\left(\vec{\alpha} +\vec{\beta}\right)^{3}=\vec{\alpha }^{3}+3\vec{\alpha }^{2}\vec{\beta }+3\vec{\alpha }\vec{\beta }^{2}+\vec{\beta }^{3}$ στα διανύσματα; Αιτιολογήστε. Αν όχι κάτω από ποιες προϋποθέσεις μπορεί να ισχύσει;

#2

Έτσι όπως είναι γραμμένη η ταυτότητα, είναι προβληματική γιατί δεν χρησιμοποιούμε το σύμβολο $\vec{a}^3$ . Προφανώς εννοείς $(\vec{a}\cdot \vec{a})\vec{a}.$
Με αυτή την διευκρίνηση, η ταυτότητα είναι απλή άσκηση ρουτίνας. Αν ξέρει κανείς να αποδείξει την ταυτότατα (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

στο $\mathbb R$ , τότε θα κάνει και την δοθείσα χωρίς δυσκολία.

Μ.

christodoulou · #3

Αν θεωρήσουμε ότι το $\vec{\alpha }^{3}$ είναι το $\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\alpha } \right)\cdot\vec{\alpha }$ ή το $\vec{\alpha }\cdot\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\alpha } \right)$ δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα εκεί. Το πρόβλημα θεωρώ ότι υπάρχει στο $\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\alpha } \right)\cdot\vec{\beta }$ και στο $\vec{\alpha }\cdot\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\beta } \right)$ τα οποία εμφανίζονται στην απόδειξη και δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε, διότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο. Ποια είναι η γνώμη σας;

#4

Αν θεωρήσουμε την παραδοχή $\displaystyle{\vec{a}^3=\vec{a}^2 \vec{a}}$ , μπορούμε να πούμε ότι:

$\displaystyle{\left (\vec{a}+\vec{b} \right)^3=\left (\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2 \right)\left (\vec{a}+\vec{b} \right)=}$

$\displaystyle{=\vec{a}^2\vec{a}+\vec{a}^2\vec{b} +2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}+2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}+\vec{b}^2\vec{a}+\vec{b}^2\vec{b}}$ .

Για να ισχύει λοιπόν η ζητούμενη ταυτότητα θα πρέπει:

$\displaystyle{\vec{a}^3+3\vec{a}^2\vec{b}+3\vec{b}^2\vec{a}+\vec{b}^3=\vec{a}^2\vec{a}+\vec{a}^2\vec{b} +2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}+2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}+\vec{b}^2\vec{a}+\vec{b}^2\vec{b}}$ ,

δηλαδή,

$\displaystyle{2\vec{a}^2\vec{b}+2\vec{b}^2\vec{a}=2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{a}+2(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{b}}$

ή

$\displaystyle{\left (\vec{a}^2-\vec{a}\cdot\vec{b} \right)\vec{b}=\left(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2 \right )\vec{a}} (I)$ .

* Αν $\displaystyle{\vec{a}^2-\vec{a}\cdot\vec{b}=0 (II)}$ , από την (Ι) έχουμε ότι: $\displaystyle{\left(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2 \right )\vec{a}=\vec{0}}$ , άρα $\displaystyle{\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2 =0}$ ή $\displaystyle{\vec{a}=\vec{0}}$ .
-> αν $\displaystyle{\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2 =0}$ , τότε από την (ΙΙ) βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}^2 =\vec{a}^2}$ .
--> Αν $\displaystyle{\vec{a}=\vec{0}}$ η (ΙΙ) ισχύει πάντα, άρα και η "ταυτότητα".

** Αν $\displaystyle{\vec{a}^2-\vec{a}\cdot\vec{b}\neq0 (III)}$ , από την (Ι) έχουμε ότι: $\displaystyle{\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2}{\vec{a}^2-\vec{a}\cdot\vec{b}}\vec{a}}$ .

STOPJOHN · #5

Πιστεύω ότι υπάρχει το πρόβλημα στην προσεταιριστική ιδιότητα των διανυσμάτων,εκτός και αν δηλωθεί ότι ισχύει παραδείγματος χάρη για μηδενικά διανύσματα η παράλληλα .Ακόμη στο πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα ο αριθμός πρέπει να είναι αριστερά από το διάνυσμα, με βάση το σχολικό βιβλίο .Στη βιβλιογραφία ο πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα μπορεί να γίνει είτε από δεξιά είτε από αριστερά .Αρα η ταυτότητα δεν ισχύει για κάθε ζεύγος διανυσμάτων
Γ.Σ

#6

STOPJOHN έγραψε:Πιστεύω ότι υπάρχει το πρόβλημα στην προσεταιριστική ιδιότητα των διανυσμάτων,εκτός και αν δηλωθεί ότι ισχύει παραδείγματος χάρη για μηδενικά διανύσματα η παράλληλα .Ακόμη στο πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα ο αριθμός πρέπει να είναι αριστερά από το διάνυσμα, με βάση το σχολικό βιβλίο .Στη βιβλιογραφία ο πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα μπορεί να γίνει είτε από δεξιά είτε από αριστερά .Αρα η ταυτότητα δεν ισχύει για κάθε ζεύγος διανυσμάτων
Γ.Σ

Δεν μπορεί κανείς να διαφωνήσει μαζί σου. Η απάντηση δίνεται προφανώς με αυτές τις παραδοχές. Αναφέρθηκε και από τον κο Λάμπρου παραπάνω.

#7

christodoulou έγραψε:<...>Το πρόβλημα θεωρώ ότι υπάρχει στο $\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\alpha } \right)\cdot\vec{\beta }$ και στο $\vec{\alpha }\cdot\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\beta } \right)$ <...>

Προσπάθησε πρώτα να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες των συμβόλων. Το πρόβλημα που σε μπερδεύει πηγάζει από το γεγονός ότι χρησιμποποιείς την "κουκίδα" με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Ο ένας είναι "εσωτερικό γινόμενο" (π.χ. η πρώτη κουκίδα στην παράσταση $\left(\vec{\alpha }\cdot\vec{\alpha } \right)\cdot\vec{\beta }$ (*) που γράφεις).

Ο άλλος είναι το σύμβολο του "πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα". Σε αυτή την περίπτωση ΔΕΝ ΣΥΝΗΘΙΖΟΥΜΕ να γράφουμε κουκίδα. Π.χ. προτιμάμε την γραφή $\lambda \vec{a}$ από την $\lambda \cdot \vec{a}$ . Πλην όμως στην (*) χρησιμοποίησες αυτό που δεν συνηθίζουμε (είναι η δεύτερη κουκίδα που έγραψες).

Πιστεύω με αυτά να ξεκαθάρισα τι σε μπερδεύει. Αν όχι, εδώ είμαστε για περισσότερες διευκρινίσεις.

Μ.

bilstef · #8

Μια και επανήλθε το θέμα από εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=23&t=31462
αναρωτιέμαι : Γιατί μπερδεύουμε τις μαθητές με τον συμβολισμό που χρησιμοποιεί το βιβλίο ; (εμείς βέβαια καταλαβαίνουμε ( ; ) την διαφορά οι μαθητές όμως ; )
Δεν θα ήταν πιο "σωστό" (παιδαγωγικά τουλάχιστον) να χρησιμοποιούσαμε ( δηλ το βιβλίο) τον εξής συμβολισμό :
για το πολ/σμο αριθμού επί διάνυσμα την τελεία $\cdot$
και για το εσωτερικό γινόμενο (που είναι άλλη πράξη) το $\odot$ .
Τότε το $(\vec{\alpha }\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\beta }$ θα γραφόταν $(\vec{\alpha }\odot \vec{\alpha })\cdot \vec{\beta }$
Οπότε η ερώτηση είναι $(\vec{\alpha }\odot \vec{\alpha })\cdot \vec{\beta }=\vec{\alpha }\cdot (\vec{\alpha}\odot\vec{\beta })$ ;
στην οποία φαίνεται ότι η ισότητα είναι αυθαίρετη .
Εγώ πάντως στους μαθητές μου χρησιμοποιώ αυτό το συμβολισμό και έχω δει ότι είναι πιο ξεκάθαρα τα πράγματα ως προς τις πράξεις(ορισμούς τους) και την χρησιμοποίησή τους

#9

Βασίλη έχεις δίκιο ότι ο συμβολισμός μπερδεύει.

Στα περισσότερα βιβλία συνηθίζεται στον πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα να παραλείπεται τελείως η κουκίδα. Δηλαδή να γράφουμε $\lambda \bf{v}$ αντί $\lambda \cdot \bf{v}$ .

Επεξεργασία: Τώρα πρόσεξα ότι το ίδιο λέει και ο Μιχάλης πιο πάνω.

bilstef · #10

Αναφέρεται ότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στο εσωτερικό γινόμενο .

Θεωρώ ότι λανθασμένο να πούμε κάτι τέτοιο αφού με το εσωτερικό γινόμενο (βλέπε εδώ-viewtopic.php?p=102723#p145911- ) $\odot$ παίρνουμε αριθμό και τότε ο πολλαπλασιασμός με το $\vec{\beta }$ είναι άλλη πράξη η $\cdot$
Πχ Θεωρώ την πράξη $\ast$ και την πράξη $\uplus$ .
Μπορώ να μιλήσω για προσεταιριστική πράξη στην $(\alpha \ast \beta ) \uplus \gamma$ ;

Θα μπορούσα να μιλήσω για (δεξιά) επιμεριστική της $\uplus$ ως προς την $\ast$ αλλά όχι για προσεταιριστική .

Ταυτότητες και διανύσματα

Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Re: Ταυτότητες και διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση