Διαδοχικοί μετασχηματισμοί τριάδας ακεραίων

ksofsa · #1

Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνω μια ιδιοκατασκευή:

Στην τριάδα ακεραίων (a,b,c)

επενεργούμε το μετασχηματισμό P(a,b,c)=(2a+2b-c,2c+2a-b,2b+2c-a)

.

Είναι δυνατόν να ξεκινήσουμε από την τριάδα (5,10,13)

και με διαδοχικούς μετασχηματισμούς να φτάσουμε σε μια κατάσταση (x,y,z)

, όπου ο ένας από τους

αριθμούς είναι ίσος με το άθροισμα των άλλων

;

#2

ksofsa έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2023 11:08 am
Με αφορμή το θέμα εδώ, προτείνω μια ιδιοκατασκευή:

Στην τριάδα ακεραίων επενεργούμε το μετασχηματισμό .

Είναι δυνατόν να ξεκινήσουμε από την τριάδα και με διαδοχικούς μετασχηματισμούς να φτάσουμε σε μια κατάσταση , όπου ο ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με το άθροισμα των άλλων ;

Καλό.

Απάντηση: Δεν γίνεται.

Θα γράφουμε τους αριθμούς στο n-οστό βήμα στην μορφή (a_n, b_n,c_n)

με τον αρχικό να είναι ο (a_0,b_0,c_0)

.

Παρατηρούμε ότι αν a<b<c

τότε οι τρεις νέοι αριθμοί (2a+2b-c,2c+2a-b,2b+2c-a)

διατηρούν την διάταξή τους καθώς (άμεσο) 2a+2b-c < 2c+2a-b <2b+2c-a

.

Αν λοιπόν κάποια στιγμή ο ένας από τους τρεις αριθμούς είναι ίσος με το άθροισμα των άλλων δύο, τότε ο εν λόγω ένας αριθμός είναι ο πιο μεγάλος.
Δηλαδή για κάποιο

ισχύει $\boxed {c_n=a_n+b_n} \, (*)$ . Συνεπώς

$2b_{n-1} +2c_{n-1} -a_{n-1} = (2a_{n-1} +2b_{n-1} -c_{n-1} )+(2c_{n-1} +2a_{n-1} -b_{n-1} )$

ισοδύναμα

$5a_{n-1} = b_{n-1} + c_{n-1}$

Συνεπώς

$5 (2a_{n-2} +2b_{n-2} -c_{n-2} ) = (2c_{n-2} +2a_{n-2} -b_{n-2} )+ ( 2b_{n-2} +2c_{n-2} -a_{n-2} )$

Μετά τις απλοποιήσεις δίνει ισοδύναμα

$\boxed {a_{n-2} +b_{n-2} = c_{n-2}}$

Αλλά αυτή είναι ίδια με την (*)

μόνο που είναι δύο θέσεις νωρίτερα (την n-2

φορά της επανάληψης αντί την

).

Πηγαίνοντας προς τα πίσω θα έπρεπε να ισχύει η ιδιότητα c=a+b

είτε όταν

ή όταν

. Δηλαδή όταν η τριάδα ήταν η

(a_0,b_0,c_0)= (5, 10, 13)

ή

.

Όμως γι΄αυτές δεν ισχύει η (*)

, οπότε η

δεν ισχύει ποτέ.

ksofsa · #3

Κύριε Λάμπρου, σας ευχαριστώ για τη λύση. Δεν την ήξερα. Η λύση που έχω είναι γεωμετρική και χρησιμοποιεί την άσκηση στο λινκ που παρέθεσα στην εκφώνηση. Θα αφήσω λίγο χρόνο, πριν τη γράψω, για να ασχοληθεί όποιος ενδιαφέρεται.

ksofsa · #4

Ας αναφερθεί ότι μπορούμε να πάρουμε λύση φυσιολογικά (χωρίς τρικ), μελετώντας τον πίνακα μετασχηματισμού

$A=\begin{bmatrix} 2 &2 &-1 \\ 2& -1 &2 \\ -1&2 &2 \end{bmatrix}$ ,

ο οποίος έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο $x_{A}(\lambda )=(\lambda +3)(\lambda -3)^2$ κι ελάχιστο πολυώνυμο $m_{A}(\lambda )=\lambda ^2-9$ .

Οπότε, A^2=9I

(από θεώρημα Cayley-Hamilton).

Τελικά,

$(a_{n},b_{n},c_{n})^T=\left\{\begin{matrix} 3^n(a_{0},b_{0},c_{0})^T, \alpha \nu n=2k\\ 3^{n-1}A(a_{0},b_{0},c_{0})^T=3^{n-1}(a_{1},b_{1},c_{1})^T, \alpha \nu n=2k+1 \end{matrix}\right.$ .

Οπότε, είναι δυνατό το ζητούμενο αν και μόνο αν έχει την ιδιότητα η τριάδα $(a_{0},b_{0},c_{0})$ ή η τριάδα $(a_{1},b_{1},c_{1})$ .

Τα νούμερα, όμως, επιτρέπουν και σύντομη γεωμετρική λύση με ένα στοιχειώδες αριθμοθεωρητικό επιχείρημα.