Ελάχιστο συνάρτησης!

#1

Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x-p=0}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\ \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα.} \end{cases}}$

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.

abgd · #2

matha έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:39 pm
Θεωρούμε την εξίσωση $\displaystyle{x^3-3x-p=0}$ και ορίζουμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\ \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα.} \end{cases}}$

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.

Αν

ή

υπάρχει πραγματικός αριθμός

με

ή

αντίστοιχα έτσι ώστε p=r^3-3r

.
Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση γίνεται (x-r)(x^2+rx+r^2-3)=0

και έχει μοναδική πραγματική ρίζα το

.

Αν $p \in [-2,2]$ υπάρχει πραγματικός αριθμός $r \in [-1,1]$ έτσι ώστε p=r^3-3r

.

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση γίνεται (x-r)(x^2+rx+r^2-3)=0

και έχει τρεις πραγματικές ρίζες: την

και τις $r_1, \ \ r_2$ οι οποίες, αποδεικνύεται εύκολα, είναι εκτός του διαστήματος (-1,1)

.

Άρα είναι $f(p)=\left\{\begin{matrix} r^2, \ \ \ \ \ \ \ p\in(-\infty,-2)\cup (2,+\infty) & \\ r^2-3, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p\in [-2,2]& \end{matrix}\right.$

Έτσι $f(p)\geq-3=f(0)$

Ελάχιστο συνάρτησης!

Ελάχιστο συνάρτησης!

Re: Ελάχιστο συνάρτησης!

Μέλη σε σύνδεση