Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

ΜαρίαΠ · #1

Αν

"1-1" ορίζουμε $f^{-1}$ (αντίστροφή της) τη συμμετρική της ως προς y=x

. Συνεπώς για κάθε

το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της

υπάρχει

το οποίο ανήκει στο σύνολο τιμών της

, όπου

, το οποίο είναι συμμετρικό του ως προς την y=x

.
Αν λοιπόν οι κάθετες στην y=x

έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο με την

τότε τα κοινά σημεία των αντίστροφων, αν υπάρχουν, θα είναι μόνο πάνω στην y=x

. (Αν υπήρχε κι άλλο κοινό σημείο τις

με τις κάθετες τότε υπήρχε περίπτωση να συμπίπτει με σημείο της αντίστροφης (στο συμμετρικό της σημείο) -από ορισμό της συμμετρίας- και άρα να τέμνονται και εκτός της y=x

)

Επομένως (κάτι ήδη γνωστό) αν

γνησίως αύξουσα και αφού y=-x+b

οι κάθετες στην διχοτόμο y=x

λύνοντας το σύστημα (για τα κοινά τους σημεία) έχουμε πως: f(x)=-x+b

άρα

. Έστω

η οποία προφανώς είναι γνησίως αύξουσα και επομένως g "1-1"

. Άρα η

έχει το πολύ μια λύση. Συνεπώς οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις με τις αντίστροφές τους, αν τέμνονται, θα τέμνονται μόνο πάνω στη διχοτόμο.

Επιπλέον παρατηρούμε ότι αυτό θα συμβαίνει σε κάθε συνάρτηση στην οποία όταν προσθέσουμε

θα έχουμε μία νέα συνάρτηση h(x)

η οποία θα είναι "1-1"

. Όπως η

, ( $k\geq 1$ )

#2

Σωστό μεν αλλά και τετριμμένο. Ουσιαστικά λες (αλλά με δύσκολο τρόπο ώστε να φαίνεται περισπούδαστο) ότι

Αν το συμμετρικό τυχαίου σημείου του γραφήματος μιας αντιστρέψιμης ως προς την ευθεία (με εξαίρεση τα ίδια τα σημεία της ευθείας αυτής) δεν είναι σημείο του γραφήματος, τότε το γράφημα και η συμμετρικό του (δηλαδή το γράφημα της $f^{-1}$ ) δεν έχουν κοινά σημεία έξω από την .

Απόδειξη: Απόλυτα τετριμμένη. Άμεση ταυτολογία.

#3

Σε ευχαριστούμε που μοιράστηκες την ιδέα σου μαζί μας. Το

πάντα προχωρούσε με την ανταλλαγή ιδεών (άλλοτε επεξεργασμένων και άλλοτε όχι). Η χρησιμοποίηση των καθέτων στην y=x

δίνει προσφέρει μια άλλη οπτική γωνία στην συμμετρία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ . Ωστόσο κοιτάω από χθες την ανάρτηση σου και δεν μπορώ να καταλάβω το εξής: Πως η επίλυση του συστήματος των y=f(x)

και της

μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν η

είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ ανήκουν στην y=x

. Ίσως είναι κάτι που δεν βλέπω γιαυτό θα το ξαναδώ.
Μαυρογιάννης

ΜαρίαΠ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστό μεν αλλά και τετριμμένο. Ουσιαστικά λες (αλλά με δύσκολο τρόπο ώστε να φαίνεται περισπούδαστο) ότι

Αν το συμμετρικό τυχαίου σημείου του γραφήματος μιας αντιστρέψιμης ως προς την ευθεία (με εξαίρεση τα ίδια τα σημεία της ευθείας αυτής) δεν είναι σημείο του γραφήματος, τότε το γράφημα και η συμμετρικό του (δηλαδή το γράφημα της $f^{-1}$ ) δεν έχουν κοινά σημεία έξω από την .

Απόδειξη: Απόλυτα τετριμμένη. Άμεση ταυτολογία.

Συγγνώμη κύριε. Μαθήτρια είμαι και είναι η πρώτη μου δημοσίευση. Δεν ήξερα πόσο απλά πρέπει να το γράψω για να γίνει κατανοητό γιατί ο φροντιστής μου μου είπε πως πρέπει να γίνει πιο αλγεβρικά για να είναι σαφής η απόδειξη. Δεν προσπάθησα σε καμία περίπτωση να fane;i περισπούδαστο... δεν έχω σπουδάσει!

ΜαρίαΠ · #5

nsmavrogiannis έγραψε:Σε ευχαριστούμε που μοιράστηκες την ιδέα σου μαζί μας. Το πάντα προχωρούσε με την ανταλλαγή ιδεών (άλλοτε επεξεργασμένων και άλλοτε όχι). Η χρησιμοποίηση των καθέτων στην δίνει προσφέρει μια άλλη οπτική γωνία στην συμμετρία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ . Ωστόσο κοιτάω από χθες την ανάρτηση σου και δεν μπορώ να καταλάβω το εξής: Πως η επίλυση του συστήματος των και της μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ ανήκουν στην . Ίσως είναι κάτι που δεν βλέπω γιαυτό θα το ξαναδώ.
Μαυρογιάννης

Στη λύση του συστήματος έχουμε λύση μία τιμή.. Άρα κάθε κάθετη στην y=x

τέμνει την f(x)

μία το πολύ φορά (εξαρτάται από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης). Επομένως το συμμετρικό αυτού του σημείου ως προς τη διχοτόμο θα ανήκει στην αντίστροφη και δεν θα υπάρχει εκεί (πάνω στο συμμετρικό της σημείο) άλλο σημείο της

ώστε να τέμνονται. Επομένως θα τέμνονται μόνο στη διχοτόμο όπου ήδη τα σημεία της

ταυτίζονται με τα συμμετρικά τους (τα σημεία της αντίστροφης) αφού αυτή είναι η άξονας συμμετρίας. Ελπίζω να απάντησα στην ερώτησή σας.

ΜαρίαΠ · #6

ΜαρίαΠ έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωστό μεν αλλά και τετριμμένο. Ουσιαστικά λες (αλλά με δύσκολο τρόπο ώστε να φαίνεται περισπούδαστο) ότι

Αν το συμμετρικό τυχαίου σημείου του γραφήματος μιας αντιστρέψιμης ως προς την ευθεία (με εξαίρεση τα ίδια τα σημεία της ευθείας αυτής) δεν είναι σημείο του γραφήματος, τότε το γράφημα και η συμμετρικό του (δηλαδή το γράφημα της $f^{-1}$ ) δεν έχουν κοινά σημεία έξω από την .

Απόδειξη: Απόλυτα τετριμμένη. Άμεση ταυτολογία.

Συγγνώμη κύριε. Μαθήτρια είμαι και είναι η πρώτη μου δημοσίευση. Δεν ήξερα πόσο απλά πρέπει να το γράψω για να γίνει κατανοητό γιατί ο φροντιστής μου μου είπε πως πρέπει να γίνει πιο αλγεβρικά για να είναι σαφής η απόδειξη. Δεν προσπάθησα σε καμία περίπτωση να φανεί περισπούδαστο... δεν έχω σπουδάσει!

ΜαρίαΠ · #7

Αυτό που ήθελα να επισημάνω με την δημοσίευσή μου είναι ότι τα κοινά σημεία των αντίστροφων μπορούν να βρεθούν λύνοντας την κι ας μην είναι γνησίως αύξουσα. Αρκεί να ισχύει το τελευταίο (να της προσθέσουμε και να εξακολουθεί να είναι ). Νομίζω πως αυτό το συμπέρασμα δεν είναι τετριμμένο. Άλλωστε όλες οι αποδείξεις-λύσεις είναι διαφορετική διατύπωση των δεδομένων.

Λάμπρος Μπαλός · #8

ΜαρίαΠ έγραψε:Αυτό που ήθελα να επισημάνω με την δημοσίευσή μου είναι ότι τα κοινά σημεία των αντίστροφων μπορούν να βρεθούν λύνοντας την κι ας μην είναι γνησίως αύξουσα. Αρκεί να ισχύει το τελευταίο (να της προσθέσουμε και να εξακολουθεί να είναι ). Νομίζω πως αυτό το συμπέρασμα δεν είναι τετριμμένο. Άλλωστε όλες οι αποδείξεις-λύσεις είναι διαφορετική διατύπωση του ερωτήματος.

Ωραία. Θα πρότεινα να γράψεις την απόδειξή σου πιο τακτοποιημένα. Δηλαδή, να γράψεις σαν τίτλο την υπόθεσή σου και ακριβώς από κάτω την απόδειξη, χωρίς παρενθέσεις και χωρίς εμβόλιμους σχολιασμούς. Πολύ καλή βρίσκω προσωπικά τη σκέψη σου (ειδικά για μαθήτρια, τί λες τώρα;).

υγ..δεν χρειάζονται τα μεγάλα μαυρισμένα γράμματα, ενέχουν ένα νεύρο που χαλάει το φενγκ σούι.

ΜαρίαΠ · #9

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Ωραία. Θα πρότεινα να γράψεις την απόδειξή σου πιο τακτοποιημένα. Δηλαδή, να γράψεις σαν τίτλο την υπόθεσή σου και ακριβώς από κάτω την απόδειξη, χωρίς παρενθέσεις και χωρίς εμβόλιμους σχολιασμούς. Πολύ καλή βρίσκω προσωπικά τη σκέψη σου (ειδικά για μαθήτρια, τί λες τώρα;).

υγ..δεν χρειάζονται τα μεγάλα μαυρισμένα γράμματα, ενέχουν ένα νεύρο που χαλάει το φενγκ σούι.

Ευχαριστώ για το σχόλιο σας. Ομολογώ πως δεν είναι αρμονική η μορφοποίηση του κειμένου. Την επόμενη φορά θα προσέξω περισσότερο.

ΜαρίαΠ · #10

nsmavrogiannis έγραψε:Σε ευχαριστούμε που μοιράστηκες την ιδέα σου μαζί μας. Το πάντα προχωρούσε με την ανταλλαγή ιδεών (άλλοτε επεξεργασμένων και άλλοτε όχι). Η χρησιμοποίηση των καθέτων στην δίνει προσφέρει μια άλλη οπτική γωνία στην συμμετρία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ . Ωστόσο κοιτάω από χθες την ανάρτηση σου και δεν μπορώ να καταλάβω το εξής: Πως η επίλυση του συστήματος των και της μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία των $C_{f}$ , $C_{f^{-1}}$ ανήκουν στην . Ίσως είναι κάτι που δεν βλέπω γιαυτό θα το ξαναδώ.
Μαυρογιάννης

Κύριε έχετε δίκιο. Έθεσα g(x)=f(x)+b

και όχι

όπως ήθελα. Το αλλάζω αμέσως. Συγγνώμη αν σας μπέρδεψα. Δικό μου λάθος.

ΜαρίαΠ · #11

Λοιπόν.. Μετά τη συμβουλή του Λάμπρου. Αναδιατυπώνω:

Θα αποδείξουμε ότι για μία συνάρτηση

για την οποία ισχύουν:
α. είναι "1-1"

και
β. αν της προσθέσουμε

η νέα συνάρτηση

είναι και αυτή "1-1"

τότε ισχύει η ισοδυναμία $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$

Απόδειξη
Αν οι κάθετες στην y=x

έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο με την

τότε τα κοινά σημεία των αντίστροφων, αν υπάρχουν, θα είναι μόνο πάνω στην y=x

. Αν υπήρχε κι άλλο κοινό σημείο της

με τις κάθετες τότε υπήρχε περίπτωση να συμπίπτει με σημείο της αντίστροφης (στο συμμετρικό του σημείο- αφού η διχοτόμος είναι ο άξονας συμμετρίας τους) και άρα να τέμνονται και εκτός της y=x

. Συνεπώς αφού y=-x+b

οι κάθετες στην διχοτόμο y=x

λύνοντας το σύστημα με την

(για τα κοινά τους σημεία) έχουμε πως: f(x)=-x+b

άρα

. Έστω

. Τότε αν

έχουμε

και άρα το σύστημα δίνει το πολύ μια λύση για κάθε κάθετη. Σύμφωνα με τα παραπάνω τα κοινά σημεία της με την αντίστροφή της -αν υπάρχουν- θα βρίσκονται πάνω στον άξονα συμμετρίας τους, την y=x

. Προφανώς λοιπόν $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$ με το αντίστροφο της ισοδυναμίας να ισχύει ούτως ή άλλως σε όλες τις αντίστροφες.

#12

Αυτή την πρόταση νομίζω ότι κάπου την είδα τους τελευταίους μήνες ! Μου θυμίζει Ζανταρίδη ή κάποια δημοσίευση με κάποιον άλλον(ίσως τον Κώστα Τηλέγραφο), δεν μπορώ να θυμηθώ. Ας βοηθήσει κάποιος , αν γνωρίζει κάτι.

Επαινώ την προσπάθεια της Μαρίας να την κάνει πιο ευρέως γνωστή και την καλωσορίζω στην οικογένειά μας ! Της εύχομαι καλή πρόοδο και να την

βλέπουμε όσο πιο συχνά γίνεται στο mathematica.gr

Μπ

ΜαρίαΠ · #13

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αυτή την πρόταση νομίζω ότι κάπου την είδα τους τελευταίους μήνες ! Μου θυμίζει Ζανταρίδη ή κάποια δημοσίευση με κάποιον άλλον(ίσως τον Κώστα Τηλέγραφο), δεν μπορώ να θυμηθώ. Ας βοηθήσει κάποιος , αν γνωρίζει κάτι.

Επαινώ την προσπάθεια της Μαρίας να την κάνει πιο ευρέως γνωστή και την καλωσορίζω στην οικογένειά μας ! Της εύχομαι καλή πρόοδο και να την

βλέπουμε όσο πιο συχνά γίνεται στο mathematica.gr

Μπ

Κύριε Στεργίου. Προσωπικά σας δίνω τον λόγο μου ότι δεν αντέγραψα ούτε την ιδέα ούτε το συμπέρασμα από άλλον. Δεν σας αμφισβητώ (μπορεί όντως κάποιος να το σκέφτηκε) αλλά πριν ανεβάσω αυτή τη δημοσίευση έλεγξα τις αναρτήσεις σχετικά με το θέμα και βρήκα την απόδειξη μόνο για τις γνησίως αύξουσες (εντελώς διαφορετική από τη δική μου). Θα ήθελα να μου δείξετε τις αντίστοιχες δημοσιεύσεις γιατί δεν σας κρύβω ότι θα ήθελα η σκέψη να μην έχει προηγηθεί από άλλους. Δεν υπήρχε περίπτωση να παρουσιάσω κάποιου άλλου τη σκέψη ως δική μου- πόσο μάλλον σε ένα site στο οποίο αυτός είναι πολύ πιθανό να είναι μέλος του.
Σας ευχαριστώ για την ευχή σας!

#14

ΜαρίαΠ έγραψε:Έστω η οποία προφανώς είναι γνησίως αύξουσα και επομένως . [/ggb]

Προσοχή σε αυτό το σημείο της αρχικής ανάρτησης γιατί δεν ισχύει. Π.χ. αν

η αντιστέρψιμη f(x)=-3x

τότε

, η οποία δεν είναι γνήσια αύξουσα.

Το αποτέλεσμα που διατυπώθηκε παρακάτω είναι σωστό και ενδιαφέρον (εύγε στην Μαρία) και στην απόδειξη (ευτυχώς) δεν χρησιμοποιήθηκε ο προηγούμενος εσφαλμένος ισχυρισμός. Στην θέση του στο τελικό ποστ μπήκε ως υπόθεση ότι η

είναι

, το οποίο μας αρκεί.

Επειδή η δοθείσα απόδειξη έχει κάποιες ασάφειες, την καταγράφω εκ νέου για όφελος των μαθητών μας. Δεν κάνω τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από το να χτενίσω τα ήδη γραμμένα και να διώξω τα περιττά (αυτά που ονόμασα "περισπούδαστα" στο αρχικό μου ποστ).

ΜαρίαΠ έγραψε:Θα αποδείξουμε ότι για μία συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
α. είναι "1-1" και
β. αν της προσθέσουμε η νέα συνάρτηση είναι και αυτή "1-1"
τότε ισχύει η ισοδυναμία $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$

Η κατεύθυνση $f(x)=x\Rightarrow f(x)=f^{-1}(x)$ είναι άμεση αφού το αριστερό μέλος δίνει $x=f^{-1}(x)$ και άρα $f(x)=x=f^{-1}(x)$ .

Αντίστροφα, έστω ότι $f(x_o)=f^{-1}(x_o)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι f(x_o)=x_o

.

Θέτουμε $f^{-1}(x_o)=x_1$ , οπότε $x_o=f(x_1) \, (*)$ . Έχουμε τότε $f(x_o)+ x_o =f^{-1}(x_o)+ x_o = x_1+f(x_1)$ . Με άλλα λόγια f(x_o)+ x_o = f(x_1)+x_1

, που από την υπόθεση β. έπεται x_o=x_1

. Άρα από την (*) έχουμε x_o=f(x_o)

, όπως θέλαμε. Τελιώσαμε!

.....

Και ένα γλωσσικό:

ΜαρίαΠ έγραψε:Δεν προσπάθησα σε καμία περίπτωση να φανεί περισπούδαστο... δεν έχω σπουδάσει!

Περισπούδαστο σημαίνει "κάτι σπουδαίο" και όχι "που έχει σπουδάσει".

ΜαρίαΠ · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΜαρίαΠ έγραψε:Έστω η οποία προφανώς είναι γνησίως αύξουσα και επομένως . [/ggb]
Προσοχή σε αυτό το σημείο της αρχικής ανάρτησης γιατί δεν ισχύει. Π.χ. αν η αντιστέρψιμη τότε , η οποία δεν είναι γνήσια αύξουσα.

Το αποτέλεσμα που διατυπώθηκε παρακάτω είναι σωστό και ενδιαφέρον (εύγε στην Μαρία) και στην απόδειξη (ευτυχώς) δεν χρησιμοποιήθηκε ο προηγούμενος εσφαλμένος ισχυρισμός. Στην θέση του στο τελικό ποστ μπήκε ως υπόθεση ότι η είναι , το οποίο μας αρκεί.

Επειδή η δοθείσα απόδειξη έχει κάποιες ασάφειες, την καταγράφω εκ νέου για όφελος των μαθητών μας. Δεν κάνω τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από το να χτενίσω τα ήδη γραμμένα και να διώξω τα περιττά (αυτά που ονόμασα "περισπούδαστα" στο αρχικό μου ποστ).

ΜαρίαΠ έγραψε:Θα αποδείξουμε ότι για μία συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
α. είναι "1-1" και
β. αν της προσθέσουμε η νέα συνάρτηση είναι και αυτή "1-1"
τότε ισχύει η ισοδυναμία $f(x)=f^{-1}(x)\Leftrightarrow f(x)=x$
Η κατεύθυνση $f(x)=x\Rightarrow f(x)=f^{-1}(x)$ είναι άμεση αφού το αριστερό μέλος δίνει $x=f^{-1}(x)$ και άρα $f(x)=x=f^{-1}(x)$ .

Αντίστροφα, έστω ότι $f(x_o)=f^{-1}(x_o)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι .

Θέτουμε $f^{-1}(x_o)=x_1$ , οπότε $x_o=f(x_1) \, (*)$ . Έχουμε τότε $f(x_o)+ x_o =f^{-1}(x_o)+ x_o = x_1+f(x_1)$ . Με άλλα λόγια , που από την υπόθεση β. έπεται . Άρα από την (*) έχουμε , όπως θέλαμε. Τελιώσαμε!

.....

Και ένα γλωσσικό:

ΜαρίαΠ έγραψε:Δεν προσπάθησα σε καμία περίπτωση να φανεί περισπούδαστο... δεν έχω σπουδάσει!
Περισπούδαστο σημαίνει "κάτι σπουδαίο" και όχι "που έχει σπουδάσει".

Αρχικά χαίρομαι που απαντήσατε ξανά. Για το γλωσσικό δεν θα δικαιολογηθώ γιατί όντως αργότερα το πρόσεξα. Ωστόσο πιστεύω πως αφού η

ήταν γνησίως αύξουσα σε εκείνο το σημείο πως ισχύει ο ισχυρισμός "1-1"

αφού προφανώς οι γνησίως αύξουσες θα παραμείνουν γνησίως αύξουσες αν προσθέσουμε

. Δεν ήταν γενικά για κάθε συνάρτηση. Μετά έκανα την παρατήρηση για το αν βγει "1-1"

όταν προσθέσουμε

. Όσο για την απόδειξη την έκανα όπως το σκέφτηκα. Η αλγεβροποιημένη βέβαια είναι σαφώς πιο γρήγορη! Ευχαριστώ που την προσθέσατε και συγχαρητήρια! (Παρ' όλα αυτά νομίζω η δική μου δεν κρύβει ασάφειες- αν όντως κρύβει θα ήθελα να μου τις επισημάνει κάποιος για να το τελειοποιήσουμε. Με ενδιαφέρει περισσότερο η γραφική ερμηνεία.)

#16

Νομίζω ότι δύο διευκρινίσεις/σχόλια είναι απαραίτητες.

ΜαρίαΠ έγραψε: αφού η ήταν γνησίως αύξουσα

Εάν πάρουμε την

γνησίως αύξουσα, το αποτέλεσμα είναι γνωστό και απλό. Το κυριότερο, περιττεύει η υπόθεση ότι η f(x)+x

είναι 1-1.

Για όφελος των μαθητών ας επαναλάβω την στάνταρ απόδειξη του θεωρήματος:

Εάν γνήσια αύξουσα τότε ισχύει $f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ .

Η μία κατεύθυνση είναι απλή, οπότε έστω $f(x)=f^{-1}(x)$ , ισοδύναμα f(f(x))=x

. Αν

θα είχαμε από το γεγονός ότι

γνήσια αύξουσα πως f(f(x)) > f(x)

, οπότε και x> f(x)

. Άτοπο. Όμοια οδηγούμεαστε σε άτοπο αν f(x)<x

. Τελικά

, όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Τα περί καθέτων στην y=x

περιττεύουν.

ΜαρίαΠ έγραψε:
Η αλγεβροποιημένη βέβαια είναι σαφώς πιο γρήγορη! ... Με ενδιαφέρει περισσότερο η γραφική ερμηνεία.

Η αλγεβροποιημένη απόδειξη είναι ουσιαστικά η ίδια με την γεωμετρική, πλην ελάχιστων διαφορών στην διατύπωση (όχι στα μαθηματικά) και αφαίρεση των περιττών. Επειδή ίσως δεν έγινε κατανοητό, ας γίνω αναλυτικότερος χρησιμοποιώντας γεωμετρική γλώσσα αυτή την φορά.

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν $f(x_o)=f^{-1}(x_o)$ , τότε f(x_o)=x_o

.

Γεωμετρικά η υπόθεση λέει ότι τα σημεία $(x_o, \, f(x_o))$ και $(x_o, \, f^{-1}(x_o))$ συμπίπτουν. Το δεύτερο είναι φυσικά στο γράφημα της $f^{-1}$ , άρα το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y=x

είναι στο γράφημα της

, δηλαδή είναι της μορφής (x_1, f(x_1))

. Έπεται ότι τα σημεία $(x_o, \, f(x_o))$ και (x_1, f(x_1))

συμπίπτουν, αλλιώς η ευθεία που τα περιέχει θα ήταν κάθετη στην y=x

και θα έτεμνε το γράφημα της

σε δύο διαφορετικά σημεία (τα προαναφερθέντα). Άτοπο. Συνεπώς $(x_o, \, f(x_o)) = (x_1, f(x_1))$ , άρα x_o=x_1

και λοιπά.

Σχόλιο: Στη αλγεβρική απόδειξη που έγραψα, απλά η φράση που σημείωσα με μπλε, έχει αντικατασταθεί επί το ταχύτερον με την $f^{-1}(x_o)=x_1$ . That is all.

ΜαρίαΠ έγραψε: Ευχαριστώ που την προσθέσατε και συγχαρητήρια! (Παρ' όλα αυτά νομίζω η δική μου δεν κρύβει ασάφειες- αν όντως κρύβει θα ήθελα να μου τις επισημάνει κάποιος για να το τελειοποιήσουμε.

Θα συνηστούσα μεγαλύτερη σεμνότητα και στις δύο προτάσεις. Στην μεν πρώτη γιατί τα συγχαρητήρια βεβαίως τα εννοώ, αλλά δεν τα έγραψα με μεγαλογράμματη γραφή. Ας μην υπερβαίνουμε την αληθινή αξία των πραγμάτων.

Για την δεύτερη πρόταση, κριτές είναι οι αναγνώστες, όχι όποιος έγραψε την επίμαχη απόδειξη. Ας θυμηθούμε την απάντηση του Αρίστιππου σε μία κριτική του στον φίλο του Πλάτωνα: Ουχ οι λέγοντες μέτρον των ακουόντων αλλά οι ακούοντες των λεγόντων.

ΜαρίαΠ · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε:Νομίζω ότι δύο διευκρινίσεις/σχόλια είναι απαραίτητες.

ΜαρίαΠ έγραψε: αφού η ήταν γνησίως αύξουσα
Εάν πάρουμε την γνησίως αύξουσα, το αποτέλεσμα είναι γνωστό και απλό. Το κυριότερο, περιττεύει η υπόθεση ότι η είναι 1-1.

Για όφελος των μαθητών ας επαναλάβω την στάνταρ απόδειξη του θεωρήματος:

Εάν γνήσια αύξουσα τότε ισχύει $f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ .

Η μία κατεύθυνση είναι απλή, οπότε έστω $f(x)=f^{-1}(x)$ , ισοδύναμα . Αν θα είχαμε από το γεγονός ότι γνήσια αύξουσα πως , οπότε και . Άτοπο. Όμοια οδηγούμεαστε σε άτοπο αν . Τελικά , όπως θέλαμε.

Σχόλιο: Τα περί καθέτων στην περιττεύουν.

ΜαρίαΠ έγραψε:
Η αλγεβροποιημένη βέβαια είναι σαφώς πιο γρήγορη! ... Με ενδιαφέρει περισσότερο η γραφική ερμηνεία.
Η αλγεβροποιημένη απόδειξη είναι ουσιαστικά η ίδια με την γεωμετρική, πλην ελάχιστων διαφορών στην διατύπωση (όχι στα μαθηματικά) και αφαίρεση των περιττών. Επειδή ίσως δεν έγινε κατανοητό, ας γίνω αναλυτικότερος χρησιμοποιώντας γεωμετρική γλώσσα αυτή την φορά.

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν $f(x_o)=f^{-1}(x_o)$ , τότε .

Γεωμετρικά η υπόθεση λέει ότι τα σημεία $(x_o, \, f(x_o))$ και $(x_o, \, f^{-1}(x_o))$ συμπίπτουν. Το δεύτερο είναι φυσικά στο γράφημα της $f^{-1}$ , άρα το συμμετρικό του ως προς τον άξονα είναι στο γράφημα της , δηλαδή είναι της μορφής . Έπεται ότι τα σημεία $(x_o, \, f(x_o))$ και συμπίπτουν, αλλιώς η ευθεία που τα περιέχει θα ήταν κάθετη στην και θα έτεμνε το γράφημα της σε δύο διαφορετικά σημεία (τα προαναφερθέντα). Άτοπο. Συνεπώς $(x_o, \, f(x_o)) = (x_1, f(x_1))$ , άρα και λοιπά.

Σχόλιο: Στη αλγεβρική απόδειξη που έγραψα, απλά η φράση που σημείωσα με μπλε, έχει αντικατασταθεί επί το ταχύτερον με την $f^{-1}(x_o)=x_1$ . That is all.

ΜαρίαΠ έγραψε: Ευχαριστώ που την προσθέσατε και συγχαρητήρια! (Παρ' όλα αυτά νομίζω η δική μου δεν κρύβει ασάφειες- αν όντως κρύβει θα ήθελα να μου τις επισημάνει κάποιος για να το τελειοποιήσουμε.
Θα συνηστούσα μεγαλύτερη σεμνότητα και στις δύο προτάσεις. Στην μεν πρώτη γιατί τα συγχαρητήρια τα εννοώ μεν, αλλά δεν τα έγραψα με μεγαλογράμματη γραφή. Ας μην υπερβαίνουμε την αληθινή αξία των πραγμάτων.

Για την δεύτερη πρόταση, κριτές είναι οι αναγνώστες, όχι όποιος έγραψε την επίμαχη απόδειξη. Ας θυμηθούμε την απάντηση του Αρίστιππου σε μία κριτική του στον φίλο του Πλάτωνα: Ουχ οι λέγοντες μέτρον των ακουόντων αλλά οι ακούοντες των λεγόντων.

Κύριε Μιχάλη, ελπίζω να είναι η ιδέα μου, αλλά πιστεύω πως έχετε πάρει πολύ στραβά τις προθέσεις μου. Τόσο κακό ήταν που έκανα μία διαφορετική λύση για τις γνησίως αύξουσες; Ήθελα να συνδέσω το ήδη γνωστό με αυτό που παρατήρησα. Και όσο για τη μετατροπή σε αλγεβρική απόδειξη ίσως να μην την έχω συνηθίσει ακόμα. Σταθήκατε πολύ περισσότερο στο γεγονός ότι το απέδειξα με πολλά λόγια παρά στο ότι το απέδειξα! Ήλπιζα ως μαθηματικοί αλλά και ως μεγαλύτεροι να με διορθώνατε ενθαρρύνοντάς με και δεν είχα φανταστεί αυτό που ακολούθησε. Την επόμενη φορά -που δύσκολα θα υπάρξει βέβαια, γιατί δύσκολα κάποιος αποδεικνύει κάτι καινούριο - δεν θα σας παρουσιάσω τον τρόπο σκέψης παρά μόνο την τελική μορφή.
Ευχαριστώ για τα συγχαρητήρια. Τα δικά μου ήταν με κεφαλαία γιατί πιστεύω πως πρέπει να επικεντρωθούμε σε αυτό που καταφέραμε να βγάλουμε και όχι στα υπόλοιπα. Δεν ήταν ειρωνικά. Δεν κοιτάω να το παίξω κάποια ούτε να δείξω πως κατάφερα κάτι εξωπραγματικό. Αυτό απέδειξα. Δέχομαι διορθώσεις.

#18

ΜαρίαΠ έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αυτή την πρόταση νομίζω ότι κάπου την είδα τους τελευταίους μήνες ! Μου θυμίζει Ζανταρίδη ή κάποια δημοσίευση με κάποιον άλλον(ίσως τον Κώστα Τηλέγραφο), δεν μπορώ να θυμηθώ. Ας βοηθήσει κάποιος , αν γνωρίζει κάτι.

Επαινώ την προσπάθεια της Μαρίας να την κάνει πιο ευρέως γνωστή και την καλωσορίζω στην οικογένειά μας ! Της εύχομαι καλή πρόοδο και να την

βλέπουμε όσο πιο συχνά γίνεται στο mathematica.gr

Μπ
Κύριε Στεργίου. Προσωπικά σας δίνω τον λόγο μου ότι δεν αντέγραψα ούτε την ιδέα ούτε το συμπέρασμα από άλλον. Δεν σας αμφισβητώ (μπορεί όντως κάποιος να το σκέφτηκε) αλλά πριν ανεβάσω αυτή τη δημοσίευση έλεγξα τις αναρτήσεις σχετικά με το θέμα και βρήκα την απόδειξη μόνο για τις γνησίως αύξουσες (εντελώς διαφορετική από τη δική μου). Θα ήθελα να μου δείξετε τις αντίστοιχες δημοσιεύσεις γιατί δεν σας κρύβω ότι θα ήθελα η σκέψη να μην έχει προηγηθεί από άλλους. Δεν υπήρχε περίπτωση να παρουσιάσω κάποιου άλλου τη σκέψη ως δική μου- πόσο μάλλον σε ένα site στο οποίο αυτός είναι πολύ πιθανό να είναι μέλος του.
Σας ευχαριστώ για την ευχή σας!

Μαρία, προς Θεού, εγώ το μόνο που είπα είναι ότι κάτι μου θύμισε. Σε πιστεύω απόλυτα σε ό,τι λες, αλλά ακόμα κι αν είχες δει κάπου την πρόταση, η τοποθέτησή σου θα είχε ακόμα την ίδια αξία !

Και για να μην ξεχάσω να το πω , να ξέρεις ότι στα μαθηματικά πολλά πράγματα που νομίζουμε ότι είμαστε οι πρώτοι που τα ανακαλύπτουμε, συμβαίνει μετά από λίγο καιρό να διαπιστώνουμε ότι και κάποιος άλλος πέρασε τον ίδιο δρόμο.Σε μένα έχει συμβεί αυτό πολλές φορές, αλλά ποτέ δεν με στεναχώρησε. Η ιστορία της επιστήμης είναι γεμάτη από τέτοια παραδείγματα. Και όσοι ανακάλυψαν το ίδιο πράγμα, ακόμα και με διαφορά αιώνων, δοξάστηκαν το ίδιο. Η δόξα δεν λιγοστεύει όταν τη μοιραζόμαστε αλλά πολλαπλασιάζεται. Κι αυτό είναι ένα αισιόδοξο μήνυμα για όσους αγαπούν την επιστήμη και ειδικά τα μαθηματικά.

Και κάτι που θα σε κάνει να χαρείς πιο πολύ : την πρόταση αυτή που (νομίζω ότι) κάπου την είχα δει, την είδα αναπόδεικτη,ήταν μια αναφορά και τίποτε άλλο .

Δεν σου κρύβω μάλιστα ότι προσπάθησα για λίγα λεπτά να την αποδείξω,τελείως βιαστικά, είδα όμως ότι δεν ήταν εύκολη και την εγκατέλειψα για άλλη φορά.Επομένως σου αξίζουν συγχαρητήρια δύο φορές

.

Σε χαιρετώ και να μη διστάζεις να γράφεις ή να ρωτάς σε κάθε θέμα που σε προβληματίζει. Ακόμα κι αν τύχει κάτι να το έχουμε ξαναπεί, η χαρά

να το μοιράζεσαι μαζί μας είναι ίδια.

Καλό καλοκαίρι !

ΜαρίαΠ · #19

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Μαρία, προς Θεού, εγώ το μόνο που είπα είναι ότι κάτι μου θύμισε. Σε πιστεύω απόλυτα σε ό,τι λες, αλλά ακόμα κι αν είχες δει κάπου την πρόταση, η τοποθέτησή σου θα είχε ακόμα την ίδια αξία !

Και για να μην ξεχάσω να το πω , να ξέρεις ότι στα μαθηματικά πολλά πράγματα που νομίζουμε ότι είμαστε οι πρώτοι που τα ανακαλύπτουμε, συμβαίνει μετά από λίγο καιρό να διαπιστώνουμε ότι και κάποιος άλλος πέρασε τον ίδιο δρόμο.Σε μένα έχει συμβεί αυτό πολλές φορές, αλλά ποτέ δεν με στεναχώρησε. Η ιστορία της επιστήμης είναι γεμάτη από τέτοια παραδείγματα. Και όσοι ανακάλυψαν το ίδιο πράγμα, ακόμα και με διαφορά αιώνων, δοξάστηκαν το ίδιο. Η δόξα δεν λιγοστεύει όταν τη μοιραζόμαστε αλλά πολλαπλασιάζεται. Κι αυτό είναι ένα αισιόδοξο μήνυμα για όσους αγαπούν την επιστήμη και ειδικά τα μαθηματικά.

Και κάτι που θα σε κάνει να χαρείς πιο πολύ : την πρόταση αυτή που (νομίζω ότι) κάπου την είχα δει, την είδα αναπόδεικτη,ήταν μια αναφορά και τίποτε άλλο .

Δεν σου κρύβω μάλιστα ότι προσπάθησα για λίγα λεπτά να την αποδείξω,τελείως βιαστικά, είδα όμως ότι δεν ήταν εύκολη και την εγκατέλειψα για άλλη φορά.Επομένως σου αξίζουν συγχαρητήρια δύο φορές .

Σε χαιρετώ και να μη διστάζεις να γράφεις ή να ρωτάς σε κάθε θέμα που σε προβληματίζει. Ακόμα κι αν τύχει κάτι να το έχουμε ξαναπεί, η χαρά

να το μοιράζεσαι μαζί μας είναι ίδια.

Καλό καλοκαίρι !

Να 'στε καλά κύριε και σας ευχαριστώ! Καλό καλοκαίρι!!!

#20

Αυτό βρήκα για την ώρα,μάλλον αυτό θυμόμουν, αλλά την αναφορά ίσως την είχε κάνει κάπου ο Τάκης Χρονόπουλος και ήταν πιθανόν λίγο διαφορετική .

Δεν είναι ακριβώς ίδια με την πρόταση της Μαρίας , είναι παραπλήσια (της Μαρίας είναι πιο γενική) και γι αυτό είπα ότι ''μου θυμίζει κάτι '' και όχι '' ότι είναι ή ίδια '' .

Το ξαναλέω όμως : τα συγχαρητήριά μου στη Μαρία είναι το ίδιο έγκυρα και έχουν ακόμα μεγαλύτερη αξία, αφού παρουσιάζει την πρώτη απόδειξη και μάλιστα σε πιο γενική πρόταση από ό,τι φαίνεται στην εικόνα .

Μαρία, Μπράβο !!!

(Θα προσθέσω ένα ακόμα πιο γενικό ερώτημα :

Μπορούν να βρεθούν άλλες αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων να τέμνονται μόνο πάνω στην y=x

;

: Πρόταση με αντίστροφη .PNG (121.77 KiB) Προβλήθηκε 3412 φορές

Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Re: Παρατήρησή μου σχετικά με "τα κοινά σημεία των αντίστροφων συναρτήσεων".

Μέλη σε σύνδεση