Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Στα παρακάτω θα είναι

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy=\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\epsilon }^{1-\epsilon }\int_{\epsilon }^{1-\epsilon }f(x,y)dxdy$

$\displaystyle \zeta (m)=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^m},m\in \mathbb{N},m\geq 2$

Επίσης $d_{n}$ είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
των 1,2,3,......,n

Εστω

μη αρνητικοί φυσικοί.

Αν r>s

τότε
a)Το $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{s}}{1-xy}dxdy$

είναι ρητός αριθμός που ο παρανομαστής του διαιρεί το $d_{r}^2$

b)Το $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{s}}{1-xy}dxdy$

είναι ρητός αριθμός που ο παρανομαστής του διαιρεί το $d_{r}^3$

Αν r=s

τότε

c) $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=\zeta (2)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^2}$

d) $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=2(\zeta (3)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^3})$

Tolaso J Kos · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 13, 2020 11:01 pm

c) $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=\zeta (2)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^2}$

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \limits_{[0, 1]^2} \frac{(xy)^n}{1-xy} \, \mathrm{d}\left ( x, y \right ) &= \int \limits_{[0,1]^2} \left ( xy \right )^n \sum_{m=0}^{\infty} \left ( xy \right )^m \, \mathrm{d}\left ( x, y \right ) \\ &=\sum_{m=0}^{\infty} \int \limits_{\left [ 0, 1 \right ]^n} \left (xy \right )^{m+n} \, \mathrm{d} \left ( x, y \right ) \\ &=\sum_{m=0}^{\infty} \left (\int_{0}^{1} x^{m+n} \, \mathrm{d}x \right )^2 \\ &= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( m+n+1 \right )^2} \\ &= \sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^2} \\ &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} - \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^2} \\ &= \zeta(2) - \mathcal{H}_n^{(2)} \end{aligned}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 13, 2020 11:01 pm
d) $\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln xy)x^{r}y^{r}}{1-xy}dxdy=2(\zeta (3)-\sum_{k=1}^{r}\frac{1}{k^3})$

Εντελώς όμοια, έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} -\int \limits_{[0, 1]^2} \frac{\left ( xy \right )^n \ln xy}{1-xy} \, \mathrm{d}(x, y) &= -\int \limits_{[0, 1]^2} \left ( xy \right )^n \ln xy \sum_{m=0}^{\infty} (xy)^m \, \mathrm{d}(x, y) \\ &= -\sum_{m=0}^{\infty} \int \limits_{[0, 1]^2} \left ( xy \right )^{n+m} \ln xy \, \mathrm{d}(x, y) \\ &=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{2}{\left ( n+m+1 \right )^3} \\ &=2 \sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{m^3} \\ &= 2 \left ( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^3} - \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^3} \right ) \\ &= 2 \left ( \zeta(3) - \mathcal{H}_n^{(3)} \right ) \end{aligned}}$

Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

Re: Γενικευμένα διπλά ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση