Ολοκλήρωμα

#1

Αν $m\in\mathbb{N}$ και $\mathbb{R}\ni a>0$ , να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle\int_{0}^{2a}x^{m}\sqrt{2ax-x^{2}}\,dx$ .

dement · #2

Γραφοντας το $x = a + a \cos \theta$ το ολοκληρωμα μας γραφεται ως

$a^{m+2} \displaystyle \int_0^{\pi} (1 + \cos \theta)^m \sin^2 \theta d \theta = a^{m+2} \int_0^{\pi} (1 + \cos \theta)^{m+1} (1 - \cos \theta) d \theta = (2a)^{m+2} \int_0^{\pi} \cos^{2m+2} \frac{\theta}{2} \sin^2 \frac{\theta}{2} d \theta =$

$= 2^{m+3} a^{m+2} \displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^{2m+2} \theta \sin^2 \theta d \theta = 2^{m+3} a^{m+2} \left(I_{m+1} - I_{m+2})$ , οπου $I_m \equiv \displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^{2m} \theta d \theta = \frac{\pi}{2} \binom{2m}{m} 4^{-m}$ .

Με λιγη αλγεβρα, το τελικο αποτελεσμα (ελπιζω!) ειναι $\displaystyle \frac{2 \pi}{m+2} \left( \frac{a}{2} \right)^{m+2} \binom{2m+2}{m+1}$ .

Δημητρης Σκουτερης

#3

Ω :o Ναι!
Edwards - Integral Calculus For Beginners 1896 σ.92-93. Φοβερό βλιβλιαράκι. Αν δεν το έχετε κατεβάστε το.

#4

Μετά την ωραία λύση του Δημήτρη, αξίζουν μερικά σχόλια για το κλασσικό αυτό ολοκλήρωμα ώστε να φανεί "τι τρέχει".

Πρώτα από όλα η αλλαγή μεταβλητής x = 2at το φέρνει στην «κανονική» του μορφή. Συγκεκριμένα είναι η λεγόμενη συνάρτηση Β του Euler

$B(a,b) = \int_{0}^{1}{t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt}$

Δείτε στο
http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function

για κάποιες από τις ιδιότητες της πολύ ενδιαφέρουσας και καλομελετημένης αυτής συνάρτησης.

Όμως η ιστορία του αρχίζει, τουλάχιστον για κάποιους ρητούς εκθέτες, από τον Wallis (1616-1703) στην προσπάθειά του να βρει με ολοκλήρωμα το εμβαδόν του κύκλου (τότε ο Ολοκληρωτικός Λογισμός ήταν στη γέννηση του, μετά από κενό 2000 ετών από τον Αρχιμήδη).

Ο Wallis μελέτησε με ευφυέστατες μεθόδους τα ολοκληρώματα

$\int_{0}^{1}{(1-\sqrt[q]{x})^pdx}$

των οποίων η αλλαγή μεταβλητής $t = \sqrt[q]{t}$ τα φέρνει σε συναρτήσεις Β. Ως υποπροϊόν ο Wallis επινόησε τον περίφημο τύπο του που δίνει το π ως απειρογινόμενο και βρήκε τον επονομαζόμενο «τύπο του Wallis” για ολοκληρώματα της μορφής

$\int_{0}^{\pi}{sin^nxdx}$

Ας σημειωθεί, ότι η ωραία μέθοδος του Δημήτρη, παραπάνω, ξαναβρίσκει τα ολοκληρώματα Wallis, όπως είναι «αναμενόμενο» από αυτά που γράφω.

Ανέφερα ότι ο Wallis μελέτησε τα παραπάνω ολοκληρώματα για κάποιους ρητούς εκθέτες. Δεν θα μπορούσε και αλλιώς γιατί ο Chebychev (των γνωστών πολυωνύμων) απέδειξε ένα καταπληκτικό αποτέλεσμα: Η γενική περίπτωση του αορίστου ολοκληρώματος

$\int x^m(a + bx^n)^pdx$

όπου m, n, p ρητοί, α,β πραγματικοί και $n \ne 0$ εκφράζεται στοιχειωδώς αν και μόνον αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς p , (m+1)/n, p+(m+1)/n είναι ακέραιος.

Με άλλα λόγια, ο Wallis δεν θα μπορούσε να είχε προχωρήσει πολύ παραπάνω, ακόμα και αν προσπαθούσε όλη του ζωή...

Μια και ο λόγος στον Wallis, ας πω και το εξής που δείχνει ότι και οι μεγάλοι μαθηματικοί δυσκολεύτηκαν μερικές φορές σε θέματα που σήμερα θεωρούμε ξεκαθαρισμένο παιχνιδάκι.
Έφη Wallis, το οποίο αφήνω ασχολίαστο: "δεν είναι αλήθεια ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι του 0. Το σωστό είναι ότι είναι μεγαλύτεροι του απείρου" .

Αυτά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ω :o Ναι!
Edwards - Integral Calculus For Beginners 1896 σ.92-93. Φοβερό βλιβλιαράκι. Αν δεν το έχετε κατεβάστε το.

Αναστάση, το βιβλίο αυτό "δεν είναι τίποτα"! Που να δεις το Integral Calculus του ιδίου συγγραφέα. Αυτό που αναφέρεις είναι for beginners, για αρχάριους, οπότε αντιλαμβάνεσαι τι έχει το άλλο.

Το άλλο, λοιπόν, είναι ο δεύτερος τόμος του ογκοδέστατου α) Differential Calculus, b) Integral Calculus του Edwards.

Τον πρώτο τόμο τον έχω σε χάρτινο αντίτυπο, και ξέρω ότι υπάρχει δωρεάν και νόμιμα στο internet. Δυστυχώς δεν έχω βρει αντίτυπο του δεύτερου τόμου. Είχα δει μια ιστοσελίδα στο Internet που έλεγε ότι υπήρχε αντίτυπο του δεύτερου τόμου αλλά από λάθος αυτού που το ανέβασε, από πίσω υπήρχε ξανά ο πρώτος τόμος.

Τον δεύτερο τόμο τον μελέτησα σε βιβλιοθήκη στο Λονδίνο, στο Imperial College, κατά τα φοιτητικά μου χρόνια. Μάλλον ο βιβλιοθηκάριος με πέρασε για γραφικό που διάβαζα ένα σκονισμένο κιτρινισμένο βιβλίο εκει που όλοι οι άλλοι διάβαζαν τόσο ωραία βιβλία με εικόνες και σχήματα. Μια στιγμή είπε "αυτό το βιβλίο δεν μου το ζήτησε κανείς, όσα χρόνια δουλεύω στη Βιβλιοθήκη" . Καταλαβαίνετε!

Θα ευγνομωνώ όποιον εντοπίσει στο Internet το Integral Calculus του Edwards.

Φιλικά,

Μιχάλης.

bilstef · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Θα ευγνομωνώ όποιον εντοπίσει στο Internet το Integral Calculus του Edwards.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Μιχάλη δες εδώ
http://www.archive.org/search.php?query ... %20Edwards
και εδώ
http://www.bookfinder.com/search/?autho ... t=sr&ac=qr
δεν ξέρω αν βοηθάει

#7

bilstef έγραψε: Μιχάλη δες εδώ
http://www.archive.org/search.php?query ... %20Edwards

Βασίλη, είσαι θησαυρός.

Ποιος δεν χαίρεται με ένα βιβλίο 980 σελίδων προχωρημένου και δύσκολου
Ολοκληρωτικού Λογισμού. Και εννοώ Λογισμού, με όλη την σημασία της λέξης.

Τώρα που ξαναξεφυλλίζω το κιτρινισμένο αντίτυπο, μετά από τόσα χρόνια, αντιλαμβάνομαι γιατί ο
βιβλιοθηκάριος του Imperial με έβλεπε με οίκτο...

Φιλικά,

Μιχάλης

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση