Κάτι που ο Αρχιμήδης γνώριζε...

#1

Δίνεται η σπείρα του Αρχιμήδη με εξίσωση: $\displaystyle{r=2t, \ \ t\in [0,2\pi]}$ και ο κύκλος με κέντρο την αρχή του συστήματος της

σπείρας αυτής και ακτίνα $\displaystyle{R=4\pi }$ .

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι δυο αυτές καμπύλες για κάποιο $\displaystyle{t}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{0<t< 2 \pi}$ καθώς και τα δυο εμβαδά

των επιφανειών που αυτές ορίζουν, δηλαδή τα $\displaystyle{E_1, E_2}$ .

: Λόγος εμβαδών 1.png (46.92 KiB) Προβλήθηκε 1199 φορές

1) Να υπολογιστεί ο λόγος $\displaystyle{ L=\frac{E_1}{E_2}, 0<t<2\pi}$

2) Να βρεθεί ο όριο: $\displaystyle{ \lim_{t\to 2\pi }L=}$

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα στο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/nu5mz3kx

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 10, 2025 1:42 pm
Δίνεται η σπείρα του Αρχιμήδη με εξίσωση: $\displaystyle{r=2t, \ \ t\in [0,2\pi]}$ και ο κύκλος με κέντρο την αρχή του συστήματος της

σπείρας αυτής και ακτίνα $\displaystyle{R=4\pi }$ .

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι δυο αυτές καμπύλες για κάποιο $\displaystyle{t}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{0<t< 2 \pi}$ καθώς και τα δυο εμβαδά

των επιφανειών που αυτές ορίζουν, δηλαδή τα $\displaystyle{E_1, E_2}$ .

Λόγος εμβαδών 1.png

1) Να υπολογιστεί ο λόγος $\displaystyle{ L=\frac{E_1}{E_2}, 0<t<2\pi}$

2) Να βρεθεί ο όριο: $\displaystyle{ \lim_{t\to 2\pi }L=}$

.
Για σταθερό $t\in [0,2\pi]$ (σε ακτίνια) έχουμε από την πολική μορφή $r=2\theta$ της έλικας του Αρχιμήδη ότι

$\displaystyle{E_2 = \dfrac {1}{2} \int _0^tr^2\,d\theta = \dfrac {4}{2} \int _0^t \theta ^2\,d\theta = \dfrac {2}{3} t ^3}$

Επίσης, επειδή $E_1\cup E_2$ είναι κυκλικός τομέας γωνίας

και ακτίνας $4\pi$ , έχουμε $E_1+E_2= \dfrac {1}{2}(4\pi)^2t=8\pi ^2t$ .

α) $\displaystyle{ L=\dfrac{E_1}{E_2} =\dfrac{(E_1+E_2)-E_2}{E_2}= \dfrac{ 8\pi ^2t - \dfrac {2}{3} t ^3}{\dfrac {2}{3} t ^3}= \dfrac{ 12\pi ^2-t^2}{t^2}$ .

β) $\displaystyle{ \lim_{t\to 2\pi } \dfrac{E_1}{E_2}=\lim_{t\to 2\pi }\dfrac{ 12\pi ^2-t^2}{t^2} = \dfrac{ 12\pi ^2-4\pi ^2}{4\pi ^2}=2$

Κάτι που ο Αρχιμήδης γνώριζε...

Κάτι που ο Αρχιμήδης γνώριζε...

Re: Κάτι που ο Αρχιμήδης γνώριζε...

Μέλη σε σύνδεση