Σειρά με συνάρτηση β

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\beta$ η συνάρτηση βήτα του Dirichlet. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \beta(n) \right )= \frac{\ln 2}{2}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 15, 2024 10:02 pm
Έστω $\beta$ η συνάρτηση βήτα του Dirichlet. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \beta(n) \right )= \frac{\ln 2}{2}}$

.
Εξ ορισμού $\displaystyle{\beta (n) = 1+ \sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^k}{(2k+1)^n} }$ άρα $\displaystyle{1- \beta (n) = \sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1} }{(2k+1)^n} }$ . Οπότε το δοθέν άθροισμα με αλλαγή της σειράς άθροισης δίνει

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1} }{(2k+1)^n} = \sum _{k=1} ^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1} }{(2k+1)^n} \,(*)}$

Το μέσα άθροισμα στο δεξί μέλος της (*)

είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $\dfrac {1}{2k+1}$ , οπότε ισούται με

$\displaystyle{ (-1)^{k+1} \dfrac {1}{(2k+1)} \dfrac {1}{1- \dfrac {1}{2k+1}} = \dfrac {(-1)^{k+1}}{2k}}$

Οπότε το δεξί μέλος της (*)

ισούται με

$\displaystyle{ \sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1}}{2k} = \dfrac {1}{2}\sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^{k+1}}{k}= \dfrac {1}{2}\ln 2}$ , όπως θέλαμε.

Υπόψη ότι η τελευταία ισότητα είναι γνωστό άθροισμα. Π.χ., γενικότερα, είναι η σειρά Taylor του $\ln(1+x)$ για x=1

.

Σειρά με συνάρτηση β

Σειρά με συνάρτηση β

Re: Σειρά με συνάρτηση β

Μέλη σε σύνδεση