Αθροίζοντας πάνω στους πρώτους

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{\gcd(m,n)=1} \frac{1}{m^2 n^2} = \frac{5}{2}}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 01, 2024 8:58 am
Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{\gcd(m,n)=1} \frac{1}{m^2 n^2} = \frac{5}{2}}$ .

Είναι $\displaystyle \sum_{(m,n)=1} \dfrac{1}{m^2n^2}=\sum_{n\geq 1} \dfrac{a_n}{n^2}$ όπου a_n

το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών (a,b)

με

και

.
Αν $\displaystyle n=\prod_{i=1}^k p_i^{c_i}$ τότε είναι απλό να δούμε ότι $a_n=2^k=2^{\omega(n)}$
Οπότε θέλουμε να υπολογίσουμε το
$\displaystyle \sum_{n\geq 1} \dfrac{2^{\omega(n)}}{n^2}=\sum_{n\geq 1} \prod_{p|n}\dfrac{2}{p^{2u_p(n)}}=\prod_{p}\left (1+2\sum_{i\geq 1}\dfrac{1}{p^{2i}}\right)=\prod_{p}\left(1+\dfrac{2}{p^2}\cdot \dfrac{1}{1-1/p^2} \right )=\prod_{p} \dfrac{p^2+1}{p^2-1}=$
$\displaystyle =\left (\prod_{p} \dfrac{p^2}{p^2-1} \right )^2\cdot \prod_{p}\dfrac {p^4-1}{p^4}=\dfrac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)}=\dfrac{\pi^4/36}{\pi^4/90}=\dfrac{5}{2}$

όπου

συμβολίζει πάντα πρώτο.

Αθροίζοντας πάνω στους πρώτους

Αθροίζοντας πάνω στους πρώτους

Re: Αθροίζοντας πάνω στους πρώτους

Μέλη σε σύνδεση