Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

#1

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}t \cos\big({\tfrac{\pi}{nt}}\big)\,dt\,,\; x\in({0,+\infty})$ .

Σημείωση: Έχω μια (σχεδόν) πλήρη λύση.

#2

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 22, 2024 9:18 am
Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}t \cos\big({\tfrac{\pi}{nt}}\big)\,dt\,,\; x\in({0,+\infty})$ .

α) Για

από το ΘΜΤ έχουμε $0\le 1-\cos u = \cos 0 -\cos u = (-\sin \xi ) (0-u) = (\sin \xi )u \le u$ . Άρα για σταθερό x>0

έχουμε

$\displaystyle{0 < \int_0^x t\left (1-\cos \dfrac{\pi}{nt}}\right )dt \le \int_0^x t\dfrac{\pi}{nt}}dt = \int_0^x \dfrac{\pi}{n}}dt = \dfrac{\pi}{n}}x\to 0}$

Άρα $\displaystyle{ \int_0^x t\cos \dfrac{\pi}{nt}}dt \to \int_0^x tdt = \dfrac {x^2}{2}}$

β) Θα δούμε ότι η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη. Πράγματι από την ανίσωση $\sin u \ge \dfrac {2}{\pi} u$ για

στο πρώτο τετρατημόριο (η ανίσωση είναι γνωστή, και βγαίνει εύκολα δείχνοντας πρώτα ότι η $\frac {\sin x}{x}$ είναι φθίνουσα) έχουμε ολοκληρώνοντας (πάντα για

στο πρώτο τεταρτημόριο) ότι

$\displaystyle{ 1-\cos w = \int _0^w \sin u du \ge \int _0^w \dfrac {2}{\pi} u du = \dfrac {w^2}{\pi} \,(*)}$ .

Tώρα, αφού για $n\ge 2, \, t\ge1$ το $\dfrac {\pi}{nt}$ είναι στο πρώτο τεταρτημόριο έχουμε για x>1

ότι

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{2} - \int_0^x t\cos \dfrac{\pi}{nt}dt = \int_0^x t\left (1- \cos \dfrac{\pi}{nt}\right )dt \ge \int_1^x t\left (1- \cos \dfrac{\pi}{nt}\right )dt \ge ^{(*)} \int_1^x t \cdot \dfrac {1}{\pi} \cdot \left (\dfrac{\pi}{nt}\right ) ^2 dt =}$

$\displaystyle{ = \int_1^x \dfrac{\pi}{n^2t} dt = \dfrac{\pi}{n^2} \ln x}$ που για $x=e^{n^2}$ ισούται με $\pi$ , πάντως δεν τείνει στο

#3

Η λύση μου για την μη ομοιόμορφη σύγκλιση στο $({0,+\infty})$ απέχει πολύ από την κομψή λύση του κ. Λάμπρου, μιας και περιλαμβάνει τις συναρτήσεις $\rm{Ci}$ και $\rm{Lambert}$ , (μαζί με ένα αναπόδεικτο όριο). Επομένως δεν προσθέτει δημιουργικά.

Ένα επιπλέον ερώτημα για την ίδια ακολουθία είναι αν αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο διάστημα $({0,\pi}]$ ή σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφή ({0,a}]

, για σταθερό

,

#4

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2024 1:06 am
Ένα επιπλέον ερώτημα για την ίδια ακολουθία είναι αν αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο διάστημα $({0,\pi}]$ ή σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφή , για σταθερό ,

Ναι, συγκλίνει ομοιόμορφα:

Από την

$\displaystyle{ 1-\cos u \le u}$ για u>0

έχουμε για

στο φραγμένο διάστημα [0,a]

ότι

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{2} - \int_0^x t\cos \dfrac{\pi}{nt}dt = \int_0^x t\left (1- \cos \dfrac{\pi}{nt}\right )dt \le \int_0^x t \cdot \dfrac{\pi}{nt}\right )dt = \int_0^x \dfrac{\pi}{n}dt =\dfrac{\pi x}{n} \le \dfrac{\pi a}{n} \to 0$

(ανεξάρτητα του

).

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 19

Μέλη σε σύνδεση