Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 17

#1

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=n\arctan\big({\frac{\pi}{nx}}\big)\,,\; x\in({0,+\infty})$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2024 8:51 pm
Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=n\arctan\big({\frac{\pi}{nx}}\big)\,,\; x\in({0,+\infty})$ .

Για το κατά σημείο όριο: Θέτοντας $y = \dfrac {1}{n}$ αρκεί να βρούμε για κάθε σταθερό

το $\displaystyle{\lim_{y\to 0} \dfrac {\arctan \frac {\pi y}{x}}{y}}$ . Από l' Hospital περίπτωση 0/0

είναι ίσο με το όριο (όπου οι παραγωγίσεις είναι ως προς

)

$\displaystyle{\lim_{y\to 0} \dfrac {\dfrac { \frac { \pi }{x} }{ \left ( \frac {\pi y}{x} \right ) ^ 2+1}}{1}= \lim_{y\to 0} \dfrac { \pi x}{\pi ^2y^2+x^2}= \dfrac { \pi }{x}}$ .

Δηλαδή

$n\arctan\big({\frac{\pi}{nx}}\big) \to \dfrac {\pi}{x}$ κατά σημείο.

Όμως για $x= \frac {\pi }{n}$ έχουμε

$\displaystyle{\sup _{x>0} \left | n\arctan\big({\frac{\pi}{nx}}\big)- \dfrac { \pi }{x} \right | \ge \left | n\arctan\big({\frac{\pi}{n\frac {\pi }{n}}}\big)- \dfrac { \pi }{\frac {\pi }{n}} \right |= \left | n \cdot \arctan 1 - n\right | = \left | n \cdot \dfrac { \pi}{4} - n\right |\to \infty }$

Δηλαδή η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 17

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 17

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 17

Μέλη σε σύνδεση