Δύο ακολουθίες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 27, 2024 7:00 pm
Δίνονται οι ακολουθίες $\left\{ {{a}_{n}} \right\},\,\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ όπου:

${{a}_{n}}=\displaystyle\int\limits_{\displaystyle-\frac{\pi }{6}}^{\displaystyle\frac{\pi }{6}}{{{e}^{n\sin \theta }}\ d\theta }\,\,\,$ και $\displaystyle \,\,\,{{b}_{n}}=\displaystyle\int\limits_{\displaystyle-\frac{\pi }{6}}^{\displaystyle\frac{\pi }{6}}{{{e}^{n\sin \theta }}\cdot \cos \theta \ d\theta }\,\,\,\,\,\left( n=1,\,\,2,\,\,3,\,\,\ldots \, \right)$ .

(1) Υπολογίστε τον ${{b}_{n}}$

(2) Αποδείξτε ότι για κάθε , ${{b}_{n}}\le {{a}_{n}}\le \displaystyle\frac{2}{\sqrt{\,3}}{{b}_{n}}$

(3) Υπολογίστε το $\underset{n\to \,\infty }{\displaystyle\mathop{\lim }}\,\,\,\left[ \displaystyle\frac{1}{n}\cdot \ln \left( n\cdot {{a}_{n}} \right) \right]$ .

(1) Mε άμεση αντιπαράγωγο, $b_n= \left [\dfrac {1}{n} e^{n\sin x} \right ]_{-\pi /6}^{\pi /6} = \dfrac {1}{n} \left (e^{n/2} - e^{-n/2} \right )$

(2) Επειδή στο διάστημα $\left [-\frac{\pi }{6},\, \frac{\pi }{6} \right ]$ ισχύει $\dfrac {\sqrt 3}{2} \le \cos \theta \le 1$ έχουμε

$b_n \le \int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{{{e}^{n\sin \theta }}\cdot 1 \ d\theta = a_n$ και

$b_n \ge \int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{{{e}^{n\sin \theta }}\cdot \dfrac {\sqrt 3}{2} \ d\theta = \dfrac {\sqrt 3}{2} a_n$

από όπου τα ζητούμενα.

(3) $\displaystyle{ \frac{1}{n} \ln \left( n\cdot {{a}_{n}} \right) \le \frac{1}{n} \ln \left( n\cdot \dfrac {\sqrt 2}{3} {b}_{n}} \right) = \frac{1}{n}\ln \left( n\cdot \dfrac {\sqrt 2}{3} \cdot \dfrac {e^{n/2}- e^{-n /2}}{n} \right) =}$

$\displaystyle{ = \frac{1}{n} \ln \left ( \dfrac {\sqrt 2}{3} \cdot e^{n/2} \left ( 1- e^{-n }\right) \right ) = \frac{1}{n} \ln \left ( \dfrac {\sqrt 2}{3} \right ) +\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{n} \ln (1- e^{-n} ) \to 0 + \dfrac {1}{2} +0}$

Και όμοια $\displaystyle{ \frac{1}{n} \ln \left( n\cdot {{a}_{n}} \right) \ge \frac{1}{n} \ln \left ( \dfrac {1 \right ) +\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{n} \ln (1- e^{-n} ) \to 0 + \dfrac {1}{2} +0}$

Από ισοσυγκλίνουσες, το ζητούμενο όριο είναι $\dfrac{1}{2}$

Δύο ακολουθίες

Δύο ακολουθίες

Re: Δύο ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση