Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 14

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=0

και για κάθε $x\in\mathbb{R}^{*}$ να ισχύει |f(x)|<|x|

.

Ορίζουμε την ακολουθία συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ως εξής

$f_n(x)=(\,\underbrace{f\circ{f}\circ\ldots\circ{f}}_{n-{\text{\gr φορές}}}\,)(x)\,,\quad x\in\mathbb{R}\,.$

Να αποδειχθεί ότι $f_n\xrightarrow{o\mu.}0$ στο τυχόν διάστημα $[{-\alpha,\alpha}]\,,\;\alpha>0$ .

#2

Έστω $a \in \mathbb{R}$ . Η ακολουθία (|f_n(a)|)

είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη οπότε συγκλίνει, έστω στο $\ell$ . Η $(|f_{n+1}(a)|)$ επίσης συγκλίνει στο $\ell$ και επειδή η

είναι συνεχής τότε $f(\ell) = \ell$ . Άρα $\ell = 0$ .

Δηλαδή η

συγκλίνει κατά σημείο στην ταυτοτικά

συνάρτηση.

Για a > 0

ορίζουμε την ακολουθία (a_n)

ως $\displaystyle a_{n+1} = \max_{x \in [-a_n,a_n]} |f(x)|$ για $n=0,1,2,\ldots$ , όπου a_0 = a

. Η ακολουθία είναι καλώς ορισμένη αφού η

είναι συνεχής οπότε παίρνει μέγιστη τιμή σε κλειστό διάστημα. Με παρόμοιο επιχείρημα όπως πιο πάνω έχουμε $(a_n) \rightarrow 0$ .

Για $x \in [-a,a]$ και $n \in \mathbb{N}$ ισχύει ότι $|f_n(x)| \leqslant a_n$ : Αυτό είναι άμεσο για n=1

. Αν ισχύει για n=k

, τότε $|f_k(x)| \leqslant a_k$ , άρα $f_k(x) \in [-a_k,a_k]$ και άρα $|f_{k+1}(x)| = |f(f_k(x))| \leqslant \max_{x \in [-a_k,a_k]} |f(x)| = a_{k+1}$ . Επαγωγικά λοιπόν ο ισχυρισμός μας είναι αληθής για κάθε $n \in \mathbb{N}$ .

Έστω τώρα $\varepsilon > 0$ . Αφού $(a_n) \rightarrow 0$ υπάρχει $N \in \mathbb{N}$ τέτοιο, ώστε $a_n < \varepsilon$ για κάθε n > N

. Τότε έχουμε και $|f_n(x)| \leqslant a_n < \varepsilon$ για κάθε $x \in [-a,a]$ και κάθε n > N

. Δηλαδή η f_n

συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Είναι άμεσο από το Θεώρημα του Dini
https://en.wikipedia.org/wiki/Dini%27s_theorem
γιατί
$|f_{n+1}(x)|\leq |f_{n}(x)|$

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 14

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 14

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 14

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 14

Μέλη σε σύνδεση