Σύγκλιση σειρών με άθροισμα παραγοντικών

#1

Με αφορμή αυτήν την συζήτηση, να εξεταστεί η σύγκλιση των σειρών

$(1)\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+1)!}$

$(2)\quad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+2)!}$

Σημείωση: Εξέτασα για λίγο την δεύτερη, αλλά δεν μπόρεσα να βρω λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 06, 2022 10:00 pm
Με αφορμή αυτήν την συζήτηση, να εξεταστεί η σύγκλιση των σειρών

$(1)\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+1)!}$

$(2)\quad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+2)!}$

Σημείωση: Εξέτασα για λίγο την δεύτερη, αλλά δεν μπόρεσα να βρω λύση.

Η πρώτη αποκλίνει αφού

$\displaystyle\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+1)!}\geq \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}$

Η δεύτερη συγκλίνει αφού

$\displaystyle 0\leq \frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+2)!}\leq \frac{n(n-1)!+n!}{(n+2)!}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Tolaso J Kos · #3

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 06, 2022 10:00 pm
Με αφορμή αυτήν την συζήτηση, να εξεταστεί η σύγκλιση των σειρών

$(1)\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+1)!}$

$(2)\quad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+2)!}$

Σημείωση: Εξέτασα για λίγο την δεύτερη, αλλά δεν μπόρεσα να βρω λύση.

Θαρρώ ότι και οι δύο πέφτουν αφού $\sum_{k=1}^{n} k! \sim n!$ . Συνεπώς η πρώτη αποκλίνει διότι συμπεριφέρεται ως η αρμονική σειρά ενώ η δεύτερη συγκλίνει αφού συμπεριφέρεται όπως η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$ .

Σύγκλιση σειρών με άθροισμα παραγοντικών

Σύγκλιση σειρών με άθροισμα παραγοντικών

Re: Σύγκλιση σειρών με άθροισμα παραγοντικών

Re: Σύγκλιση σειρών με άθροισμα παραγοντικών

Μέλη σε σύνδεση