ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Το παρακάτω θέμα υπάρχει πάνω από τριάντα χρόνια στο χειρόγραφο αρχείο μου...
Κάπου θα το είδα τότε και είπα να το λύσω και να καθαρογράψω τη λύση...

Να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle a_{n}=\frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( 2n \right )!}$

Tolaso J Kos · #2

Βγάζω

. Επιβεβαιώνει κάποιος;

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 24, 2022 8:27 pm
Βγάζω . Επιβεβαιώνει κάποιος;

Δεν υπάρχει χώρος για αμφιβολία. Απλό είναι...

$\begin{aligned} 0<\frac{1!+2!+\ldots+n!}{(2n)!} &<\frac{\cancel{n}\cdot \cancel{n!}}{\cancel{n!}(n+1)(n+2)\cdots2\cancel{n}}<\frac{1}{2(n+1)}\xrightarrow{n\to+\infty}0 \end{aligned}$

Tolaso J Kos · #4

Α καλό Γρηγόρη. Εγώ χρησιμοποίησα ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k! \sim n!}$ .

#5

H απόδειξη του Γρηγόρη βγάζει βέβαια το ισχυρότερο:

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty} \frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( n+2 \right )!}=0}$

αλλά μπορούμε και

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty} \frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( n+1 \right )!}=0}$

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 24, 2022 9:01 pm
H απόδειξη του Γρηγόρη βγάζει βέβαια το ισχυρότερο:

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty} \frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( n+2 \right )!}=0}$

αλλά μπορούμε και

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty} \frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( n+1 \right )!}=0}$

Θεωρώντας δεδομένο ότι

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+2)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}k!}{(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n-1}k!}{(n+1)!}=0\quad(*)$

(όπως ανέφερε ο κ. Λάμπρου αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο που αποδείχθηκε και το αρχικό όριο)

έχουμε

$\begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}k!}{(n+1)!}&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!+\sum_{k=1}^{n-1}k!}{(n+1)!}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg({\frac{n!}{(n+1)!}+\frac{\sum_{k=1}^{n-1}k!}{(n+1)!}}\bigg)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\bigg({\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}(n+1)}+\frac{\sum_{k=1}^{n-1}k!}{(n+1)!}}\bigg)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n-1}k!}{(n+1)!}\\ &\stackrel{(*)}{=}0+0\\ &=0\,. \end{aligned}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Η σωστη τάξη μεγέθους είναι

$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty} \frac{1!+2!+3!+...+n!}{\left ( n \right )!}=1}$

την απόδειξη την έκανε παραπάνω ο Γρηγόρης.

ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Α' ΕΤΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση