Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

BronzeP · #1

Έστω

μη-κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb{R}^d$ . Δείξτε ότι υπάρχει οικογένεια $\{ B(x_i, r_i): i \in I\}$ από κλειστές μπάλες τέτοια ώστε $K= \bigcap _{i\in I} B(x_i, r_i)$ .

Έχει κανένας καμία ιδέα για αυτό?
Σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

BronzeP έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 18, 2020 2:48 pm
Έστω μη-κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb{R}^d$ . Δείξτε ότι υπάρχει οικογένεια $\{ B(x_i, r_i): i \in I\}$ από κλειστές μπάλες τέτοια ώστε $K= \bigcap _{i\in I} B(x_i, r_i)$ .

Έχει κανένας καμία ιδέα για αυτό?
Σας ευχαριστώ.

Μα το θέμα είναι η ιδέα.
Προσπάθησε να το κάνεις στο επίπεδο.

BronzeP · #3

https://math.stackexchange.com/question ... kttjekwEig

Δεν τα κατάφερα ούτε στο επίπεδο. Βρήκα μια πιθανή λύση εδώ. Καταλαβαίνετε μήπως πως επιλέγει το k?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

BronzeP έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2020 11:34 pm
https://math.stackexchange.com/question ... kttjekwEig

Δεν τα κατάφερα ούτε στο επίπεδο. Βρήκα μια πιθανή λύση εδώ. Καταλαβαίνετε μήπως πως επιλέγει το k?

Η ιδέα είναι η εξής.
Αν πάρουμε ένα $x\notin K$
να βρούμε μια σφαίρα B_x

ωστε $x\notin B_x,K\subseteq B_x$
Μετά είναι εύκολο.
Καλό παντως είναι να ενεργείς και μόνος σου.
Δουλεψε το και εδώ είμαστε

BronzeP · #5

Αφού $x \notin K$ θα υπάρχουν $c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d$ με $\left \| u \right \|=1$ τέτοια ώστε $<x,u> \geq c+r$ και $<y,u> \leq c-r$
για κάθε

στο Κ. Έστω M>0:

$\left \| x \right \|,\left \| y \right \| \leq M$ το οποίο υπάρχει διότι Κ φραγμένο.
Τότε για κάθε R>0

αρκετά μεγάλο έχουμε ότι $K\subset U_{2}(-uR, (M^{2}+R^{2}+2R(c-r))^{1/2})$ .
Πράγματι αν $y\in K$ τότε $<y,u> \leq c-r$ οπότε
$\left \| y-(-uR) \right \|^2=\left \| y+uR \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$
Από την άλλη όμως για $R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}$ έχουμε ότι $x\notin U$ , όπου

η προηγούμενη ανοιχτή μπάλα. Πράγματι,
$\left \| x+uR \right \|^2=\left \| x \right \|^2 +2R<x,u>+ R^2 \geq \left \| x \right \|^2 +2R(c+r)+ R^2$ ποσότητα που πρέπει να είναι $\geq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$ .
Ισοδύναμα $R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}$ .
Νομίζω αυτό δουλεύει. Προσωπικά δεν το βρήκα εύκολο. Ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

BronzeP έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
Αφού $x \notin K$ θα υπάρχουν $c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d$ με $\left \| u \right \|=1$ τέτοια ώστε $<x,u> \geq c+r$ και $<y,u> \leq c-r$
για κάθε στο Κ. Έστω $\left \| x \right \|,\left \| y \right \| \leq M$ το οποίο υπάρχει διότι Κ φραγμένο.
Τότε για κάθε αρκετά μεγάλο έχουμε ότι $K\subset U_{2}(-uR, (M^{2}+R^{2}+2R(c-r))^{1/2})$ .
Πράγματι αν $y\in K$ τότε $<y,u> \leq c-r$ οπότε
$\left \| y-(-uy) \right \|^2=\left \| y+uy \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$
Από την άλλη όμως για $R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}$ έχουμε ότι $x\notin U$ , όπου η προηγούμενη ανοιχτή μπάλα. Πράγματι,
$\left \| x+uR \right \|^2=\left \| x \right \|^2 +2R<x,u>+ R^2 \geq \left \| x \right \|^2 +2R(c+r)+ R^2$ ποσότητα που πρέπει να είναι $\geq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$ .
Ισοδύναμα $R> \frac{M^{2}-\left \| x \right \|^2}{4r}$ .
Νομίζω αυτό δουλεύει. Προσωπικά δεν το βρήκα εύκολο. Ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη.

Αυτό

BronzeP έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
Αφού $x \notin K$ θα υπάρχουν $c\in \mathbb{R}, r>0, u \in \mathbb{R}^d$ με $\left \| u \right \|=1$ τέτοια ώστε $<x,u> \geq c+r$ και $<y,u> \leq c-r$
για κάθε στο Κ.

δεν το γνωρίζω.Νομίζω όμως ότι πρέπει να ισχύει με βάση τις προυποθέσεις που έχουμε.

προφανώς στο

BronzeP έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 30, 2020 5:53 pm
$\left \| y-(-uy) \right \|^2=\left \| y+uy \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+\left \| R \right \|^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$

έχεις τυπογραφικό.
το σωστό είναι.

$\left \| y-(-uR) \right \|^2=\left \| y+uR \right \|^2=\left \| y \right \|^2+2R<u,y>+ R ^2 \leq M^{2}+2R(c-r)+R^{2}$

Θα σου γράψω πως θα το έκανα εγώ.
Τα θεωρώ στον $\mathbb{R}^{2}$ .
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=0

και ότι το

βρίσκεται στο y>0

.
(μεταφορές,στροφές)
Λόγω συμπάγειας το

θα βρίσκεται στο y>r

με

.
Μπορούμε να βρούμε ένα a>0

ώστε το

να είναι μέσα στο τετράγωνο με κορυφές τα

(-a,r),(a,r),(a,r+2a),(-a,r+2a)

Είναι πανεύκολο τώρα να βρούμε κύκλο που περιέχει το τετράγωνο και δεν περιέχει το

.
(αλήθεια μπορείς να τον βρεις ; )
Είναι άσκηση ρουτίνας να μεταφερθούν τα παραπάνω στον $\mathbb{R}^{n}$ .

BronzeP · #7

Το πρώτο επιχείρημα αποτελεί βασικό θεώρημα στα διαχωριστικά. Αν έχουμε δύο σύνολα $A,B \subset \mathbb{R}^d$ κυρτά, μη κενά με κενή τόμη τέτοια ώστε Α συμπαγές και Β κλειστό, τότε έχουμε ότι τα Α,Β διαχωρίζονται αυστηρά.
Σε ευχαριστώ και πάλι για την υπόδειξη, καθοριστική η συμβολή σου.

Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Re: Κυρτή Ανάλυση - Αναπαράσταση ως τομή από κλειστές μπάλες

Μέλη σε σύνδεση