Σειρά Pell - Lucas

Tolaso J Kos · #1

Οι αριθμοί Pell - Lucas $\mathcal{Q}_n$ ορίζονται ως εξής: $\mathcal{Q}_0 = \mathcal{Q}_1 =2$ και για κάθε $n \geq 2$ ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{\mathcal{Q}_n = 2\mathcal{Q}_{n-1} +\mathcal{Q}_{n-2}}$
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{2}{\mathcal{Q}_n} \arctan \frac{2}{\mathcal{Q}_{n+1}} = \frac{\pi^2}{32}}$
(H. Ohtsuka)

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2020 12:18 am
Οι αριθμοί Pell - Lucas $\mathcal{Q}_n$ ορίζονται ως εξής: $\mathcal{Q}_0 = \mathcal{Q}_1 =2$ και για κάθε $n \geq 2$ ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{\mathcal{Q}_n = 2\mathcal{Q}_{n-1} +\mathcal{Q}_{n-2}}$
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{2}{\mathcal{Q}_n} \arctan \frac{2}{\mathcal{Q}_{n+1}} = \frac{\pi^2}{32}}$
(H. Ohtsuka)

.
H πληκτρολόγιση είναι πάρα πολύ επίπονη, οπότε δίνω μόνο τα κύρια βήματα υπό μορφή εκτενούς υπόδειξης. Tην αντιγράφω από τις σημειώσεις μου, καθώς την είχα λύσει όταν προτάθηκε στο φόρουμ τον Φεβρουάριο αλλά δεν την ανάρτησα λόγω φόρτου εργασίας τότε.

α) Λύνοντας την αναδρομική σχέση θα βρούμε $Q_n= (1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n$ (άμεσο και γνωστό)

β) Παίρνοντας δύο-δύο τους όρους σειρά γράφεται

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan \dfrac{2}{Q_{2n}} \left ( \arctan \dfrac{2}{Q_{2n-1}} + \arctan \dfrac{2}{Q_{2n+1}} \right )$

γ) Από τον τύπο $\arctan a- \arctan b = \arctan \dfrac {1-b}{1+ab}$ είναι

$\arctan \dfrac{2}{Q_{2n}} = \arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n-1}} - \arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n+1}}$ και

$\arctan \dfrac{2}{Q_{2n+1}} = 2\arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n+1}}$

δ) Από το γ) ο γενικός όρος του αθροίσματος είναι

$\displaystyle{2\left (\arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n-1}} - \arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n+1}} \right ) \left ( \arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n-1}} + \arctan \dfrac{1}{(1+\sqrt 2)^{2n+1}} \right ) }$

ε) Το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό (πρέπει πρώτα να γράψουμε τον όρο ως διαφορά τετραγώνων). Μένει μόνο ο πρώτος όρος, δηλαδή

$\displaystyle{2\arctan ^2 \dfrac {1}{1+\sqrt 2}}$ , το οποίο ισούται με το ζητούμενο.

Σειρά Pell - Lucas

Σειρά Pell - Lucas

Re: Σειρά Pell - Lucas

Re: Σειρά Pell - Lucas

Μέλη σε σύνδεση