Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f_n: [a,b]\to\mathbb R$ , $n\in\mathbb N$ , ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ , διὰ κάθε $x\in [a,b]$ . Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$ , ὑπάρχει $[c,d]\subset[a,b]$ , ὅπου καὶ $N\in\mathbb N$ , ὥστε $|f_n(x)|<\varepsilon$ , διὰ κάθε $n\ge N$ καὶ $x\in [c,d]$ .

sot arm · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 12:10 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f_n: [a,b]\to\mathbb R$ , $n\in\mathbb N$ , ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$ , διὰ κάθε $x\in [a,b]$ . Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$ , ὑπάρχει $[c,d]\subset[a,b]$ , ὅπου καὶ $N\in\mathbb N$ , ὥστε $|f_n(x)|<\varepsilon$ , διὰ κάθε $n\ge N$ καὶ $x\in [c,d]$ .

Μια λύση,έστω $\varepsilon >0$ δοθέν, για κάθε $m \in \mathbb{N}$ ορίζουμε:

$\displaystyle{A_{m}=\{t \in [a,b]: \forall n\geq m, |f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\}}$

παρατηρούμε ότι κάθε ένα από αυτά είναι κλειστό, καθώς:

$\displaystyle{A_{m}=\bigcap_{n=m}^{\infty}\{t\in[a,b]:|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\}}$ και τα σύνολα: $\{t\in[a,b]:|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}\}$ είναι κλειστά, αφού έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης: $\displaystyle{[a,b]=\bigcup_{m=1}^{\infty}A_{m}}$ , πράγματι έστω $t \in [a,b]$ αφού $f_{n}(t)\rightarrow 0 \Leftrightarrow \forall n\geq m, |f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon }{2} \Rightarrow t \in A_{m}$

Αφού το [a,b]

είναι πλήρης μετρικός χώρος, το θεώρημα του Baire εξασφαλίζει ότι ένα από τα παραπάνω σύνολα, έχει μη κενό εσωτερικό, έστω το $A_{N}$ , τότε υπάρχει διάστημα: $[c,d] \subseteq A_{N}$ . Δηλαδή, για κάθε $n \geq N$ και για κάθε $t \in [c,d]$ , $\displaystyle{|f_{n}(t)|\leq \frac{\varepsilon }{2}< \varepsilon }$ που είναι το ζητούμενο.

Θυμίζει ένα θεώρημα του Osgood, όπου αν έχω ακολουθία συνεχών συναρτήσεων και για κάθε $t \in [a,b]$ , η $f_{n}(t)$ είναι φραγμένη, υπάρχει διάστημα στο οποίο η $f_{n}$ να είναι ομοιόμορφα φραγμένη.

Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Re: Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση