Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Δίδεται ἡ ἐξίσωση
$\displaystyle{ x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x=0, }$
ὅπου $a_0,\ldots,a_{n-1}$ συνεχεῖς στὸ (0,1)

καὶ $\varphi\in C^n(0,1)$ μὴ ταυτοτικῶς μηδενικὴ λύση αὐτῆς. Ἄν τὸ $\xi$ ἀποτελεῖ σημεῖο συσσωρεύσεως τῶν ριζῶν τῆς $\varphi$ , τότε δείξατε ὅτι $\xi\in\{0,1\}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δίδεται ἡ ἐξίσωση
$\displaystyle{ x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x=0, }$
ὅπου $a_0,\ldots,a_{n-1}$ συνεχεῖς στὸ καὶ $\varphi\in C^n(0,1)$ μὴ ταυτοτικῶς μηδενικὴ λύση αὐτῆς. Ἄν τὸ $\xi$ ἀποτελεῖ σημεῖο συσσωρεύσεως τῶν ριζῶν τῆς $\varphi$ , τότε δείξατε ὅτι $\xi\in\{0,1\}$ .

Είναι σχεδόν το ίδιο με αυτό
viewtopic.php?f=9&t=36998

Επειδή εκεί έδωσα περιγραφική λύση ας δώσω τώρα κανονική.

Εχουμε από το θεωρ. μονοσημάντου για διαφορικές εξισώσεις ότι αν $a\in (0,1)$

λύση της διαφορικής εξίσωσης και $0=f(a)=f'(a)=.....=f^{(n-1)}(a)$

τότε $f(x)=0,x\in (0,1)$

Για λόγους κατεδάφισης $\xi \equiv a,\varphi \equiv f$

Εστω $a\in (0,1)$ .Αφού είναι σ.σ υπάρχει $(a_{n})$ με $a_{n}\rightarrow a$

και τα $a_{n}$ διαφορετικά ανά δύο.Είναι άλλου παππά ευαγγέλιο ότι μπορούμε περνώντας ίσως σε υπακολουθίες

να πάρουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως μονότονη.

Υποθέτουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Εχουμε $0=f(a_{1})=f(a_{2})=....=f(a_{n})=....$

Από Rolle υπάρχουν $a_{1}> b_{1}> a_{2}> ...a_{n}> b_{n}> a_{n+1}>$

με $f'(b_{n})=0$

Επειδή $b_{n}\rightarrow a$ και

συνεχής έχουμε ότι f'(a)=0

συνεχίζοντας παίρνουμε $0=f(a)=f'(a)=.....=f^{(n-1)}(a)$ οπότε $f(x)=0,x\in (0,1)$

που είναι ΑΤΟΠΟ

Αρα a=0

η

Αλλος τρόπος είναι να αναπτύξουμε κατά Taylor την

γύρω από το $a\in (0,1)$ και να καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ.

Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

Re: Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

Μέλη σε σύνδεση