Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Ας δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{-\infty }^{\infty}\frac{e^{ax}}{e^x+1}\, dx=\pi\csc (a \pi),\,\,\,\, a\in \mathbb{R}^*}$

galactus · #2

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f(z)=\frac{e^{az}}{e^{z}+1}$

και το ορθογώνιο περίγραμμα με κορυφές: $\displaystyle (-R,0), \;\ (R,0), \;\ (R,R+2\pi i), \;\ (-R,-R+2\pi i)$

Οι πόλοι της f(z)

είναι οι $z=(2n+1)\pi i$ . Ο μοναδικός που βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου είναι το $\pi i$ .

Κατά μήκος του άξονα x: $\displaystyle L_{1}: \;\ \int_{-R}^{R}\frac{e^{ax}}{e^{x}+1}dx$

πάνω, στην δεξιά κάθετη πλευρά: $\displaystyle L_{2}: \;\ \int_{0}^{2\pi}\frac{e^{a(R+iy)}}{e^{R+iy}+1}idy$

Κατά μήκος της πάνω οριζόντιας πλευράς: $\displaystyle L_{3}: \;\ -\int_{-R}^{R}\frac{e^{a(x+2\pi i)}}{e^{x+2\pi i}+1}dx=-e^{2\pi ai}\int_{-R}^{R}\fac{e^{ax}}{e^{x}+1}dx=-e^{2\pi ia}I_{1}$

Κάτω, στην αριστερή κάθετη πλευρά: $\displaystyle L_{4}: \;\ -\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{a(-R+iy)}}{e^{-R+iy}+1}idy$

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα L'Hopital για να βρούμε το υπόλοιπο.

$\displaystyle Res(f, \;\ \pi i)=\left \frac{e^{ax}}{e^{x}}\right|_{x=\pi i}=-e^{\pi ia}$

$\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}=2\pi i Res(f, \;\ \pi i)$

Από την ML ανισότητα:
$\displaystyle I_{2}=I_{4}=0$

Προσθέτοντας τα τμήματα:

$\displaystyle I_{1}+I_{3}=-2\pi i e^{\pi ia}$

$\displaystyle (1-e^{2\pi ia})I_{1}=2\pi i e^{\pi ia}$

$\displaystyle I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ax}}{e^{x}+1}dx=\frac{-2\pi i e^{\pi i a}}{1-e^{2\pi i a}}=\pi csc(\pi a)$

Tolaso J Kos · #3

BAGGP93 · #4

Μια ερώτηση :

Τι συμβαίνει με τα ακέραια πολλαπλάσια του $\displaystyle{\pi}$ ; Εκεί δεν ορίζεται η $\displaystyle{csc}$ .

Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{a=2}$ , τότε :

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{2\,x}}{e^{x}+1}\,\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^{0}\dfrac{e^{x}\,\left(e^{x}+1\right)-e^{x}}{e^{x}+1}\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\infty}\dfrac{e^{x}\,\left(e^{x}+1\right)-e^{x}}{e^{x}+1}\,\mathrm{d}x\\&=\int_{-\infty}^{0}\left(e^{x}-\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\right)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\infty}\left(e^{x}-\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}\right)\,\mathrm{d}x\\&=\left[e^{x}-\ln\,\left(e^{x}+1\right)\right]_{-\infty}^{0}+\left[e^{x}-\ln\,\left(e^{x}+1\right)\right]_{0}^{\infty}\\&=1-\ln\,2-(0-0)+\lim_{x\to +\infty}\left[e^{x}-\ln\,\left(e^{x}+1\right)\right]-(1-\ln\,2)\\&=\lim_{x\to +\infty}e^{x}\,\left[1-\dfrac{\ln\,\left(e^{x}+1\right)}{e^{x}}\right]\\&=+\infty}\end{aligned}}$

διότι : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln\,\left(e^{x}+1\right)}{e^{x}}\stackrel{D.L.H}{=}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^{x}+1}=0}$ .

Θα απαντήσουμε ότι το ολοκλήρωμα απειρίζεται.

Έτσι, λογικά, το αποτέλεσμα που βρέθηκε ορίζεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}-\mathbb{Z}}$ .

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Re: Γενικευμένο Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση