Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ipaper
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 15, 2012 8:50 am

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ipaper » Παρ Μαρ 16, 2012 8:11 am

Έστω f: [0, + \infty) \rightarrow (0, +\infty) μια συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε το \lim_{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{x}f(t)\,dt να υπάρχει και να είναι πεπερασμένο.
Να αποδειχθεί ότι \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt {x}}\int_{0}^{x}\sqrt {f (t)}\,dt = 0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8565
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 16, 2012 12:05 pm

Για κάθε 0 \leqslant a < b, από Cauchy-Schwarz έχουμε \displaystyle{ \int_a^b \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{(b-a)\int_a^b f(t) \, dt}.}

Επομένως έχουμε \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^x \sqrt{f(t)} \, dt =  \frac{1}{\sqrt{x}} \int_0^{\sqrt[3]{x}} \sqrt{f(t)} \, dt + \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt \leqslant \sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\int_0^{\infty} f(t) \, dt} + \sqrt{\int_{\sqrt[3]{x}}^x \sqrt{f(t)} \, dt}} το οποίο τείνει στο 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης