Συναρτήσεις

Christiano · #1

Να δείξετε ότι $|\arctan x-\arctan y| \le |x-y|,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Για

είναι τετριμμένο
Για $\displaystyle{ x \ne y }$ ,ας είναι $\displaystyle{ x < y }$
με Θ.μ.τ στο $\displaystyle{ \left[ {x,y} \right] }$ έχουμε $\displaystyle{ \frac{1}{{1 + \xi ^2 }} = \frac{{\arctan y - \arctan x}}{{y - x}} \Rightarrow |\frac{1}{{1 + \xi ^2 }}| = |\frac{{\arctan y - \arctan x}}{{y - x}}| }$ με $\displaystyle{ \xi \in \left( {x,y} \right) }$
Όμως $\displaystyle{ \left| {\frac{1}{{1 + \xi ^2 }}} \right| \le 1 }$ ή αρκεί $\displaystyle{ 1 + \xi ^2 \ge 1 }$ που ισχύει.

AlexandrosG · #3

Να σημειώσω ότι παρόμοια ανισότητα ισχύει και για τις συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου με παρόμοια απόδειξη. Για την εφαπτομένη ισχύει με αντίθετη φορά όπως φαίνεται πάλι με παρόμοια απόδειξη ή από αυτή που απέδειξε ο Χρήστος (αφού η αντίστροφη της εφαπτομένης μικραίνει τις αποστάσεις, η εφαπτομένη τις μεγαλώνει).

Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Re: Συναρτήσεις

Re: Συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση