Όριο αθροίσματος (16)

#1

Αν

, βρείτε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{-p}\right)^{n^{p}}}$ .

caley-hamilton · #2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν , βρείτε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{-p}\right)^{n^{p}}}$ .

Την γράφω με κάποιες επιφυλάξεις.

Το ζητούμενο όριο υπάρχει,και είναι μηδεν.

Έστω L_n

το όριο μας.

Γράφουμε: $L_n=\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left((2^{n}-1)^{-p}\right)^{n^{p}}$ .

Τότε από ανίσοτητα Bernoulli $2^n\geq n+1 ,\forall n\in \mathbb{N}$ .Ή ισοδύναμα αν υψώσουμε εις την

θα προκύψει το εξής:

$(2^{n}-1)^{-p}\leq n^{-p}$ .Oπότε $\left((2^{n}-1)^{-p}\right)^{n^{p}}\leq\left({\frac{1}{n^{p}}}\right)^{n^{p}}\to 0$ όταν $n\to+\infty$ και p>1/2.

#3

caley-hamilton έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν , βρείτε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{-p}\right)^{n^{p}}}$ .
Την γράφω με κάποιες επιφυλάξεις.

<...>
Γράφουμε: $L_n=\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\left((2^{n}-1)^{-p}\right)^{n^{p}}$ .

<...>

Χμμμμ.

Για ξαναδές το...

Μ

#4

Για $n \geqslant 3$ και $3 \leqslant k \leqslant n-3$ έχουμε $\displaystyle{ \binom{n}{k} \geqslant \binom{n}{3} \geqslant n^3/27.}$ Ισχύει επίσης ότι $\binom{n}{2} \geqslant n^2/4$ . Επομένως

$\displaystyle{ 1 + \frac{2}{n^p} \leqslant \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}^{-p} \leqslant 1 + \frac{2}{n^p} + \frac{2\cdot4^p}{n^{2p}} + \frac{n \cdot 27^p}{n^{3p}}}$ .

Από εδώ παίρνουμε ότι το όριο υπάρχει και ισούται με e^2

.

Π.χ. χρησιμοποιώντας την ανισότητα $e^{(1 - \varepsilon)x} \leqslant (1+x) \leqslant e^x$ όπου η αριστερή ανισότητα ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και η δεξιά για κάθε $x \in [0,\delta(\varepsilon)]$ για κάποιο $\delta(\varepsilon) > 0$ αρκετά μικρό.

caley-hamilton · #5

Την ξανακοίταξα και διαπίστωσα το εξής:
Ίσως δεν έπρεπε να αντικαταστήσω το άθροισμα των δυωνιμικών,διότι εξαρτάται από το

και το $n\to +\infty$ ...
Τέλος πάντων πέριεργο όριο....
Κε Λάμπρου,αυτό δεν ήταν το λάθος??ή υπάρχει κι άλλο??

#6

caley-hamilton έγραψε:<...> αυτό δεν ήταν το λάθος??ή υπάρχει κι άλλο??

Είναι στο σημείο όπου εμφανίζεται το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}^{-p}$ αλλά το εξέλαβες ως $\displaystyle{\left(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k} \right)^{-p} = (2^n-1)^{-p}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

caley-hamilton · #7

Ωχχχχχ...έχετε δίκιο!!χίλια συγγνώμη για την ταλαιπωρία!

Δεν το είχα προσέξει!!Κατά τα άλλα όμως πιστεύω ότι είναι οκ.Έτσι δεν είναι?

#8

caley-hamilton έγραψε:<...>Κατά τα άλλα όμως πιστεύω ότι είναι οκ.Έτσι δεν είναι?

Ναι,πέρα από την μικρή απροσεξία, τα υπόλοιπα είναι σωστά και κομψά Μαθηματικά.

Πάντα να μας γράφεις λύσεις γιατί τις διαβάζουμε με χαρά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Όριο αθροίσματος (16)

Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Re: Όριο αθροίσματος (16)

Μέλη σε σύνδεση