Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

parmenides51 · #1

Με την ελπίδα να μην έχει επαναληφθεί ...

Να αποδείξετε πως το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)} {x}}$ δεν υπάρχει.

#2

parmenides51 έγραψε:Με την ελπίδα να μην έχει επαναληφθεί ...

Να αποδείξετε πως το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left(\frac{1}{x}\right)} {x}}$ δεν υπάρχει.

Παίρνουμε όριο μέσω ακολουθιών που τείνουν στο

.

α) Για $\displaystyle x_n = \frac {1} {2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0$ η παρασταση ισούται $\displaystyle (2n\pi +\frac {\pi}{2})\cdot 1 \to \infty$ ενώ αν

β) $\displaystyle x_n = \frac {1} {2n\pi } \to 0$ η ίδια παράσταση ισούται $\displaystyle (2n\pi +\frac {\pi}{2})\cdot 0 \to 0$ .

Συνεπώς δεν συγκλίνει.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Ας υποθέσουμε πως υπάρχει.
Αν πάρουμε τις ακολουθίες $\displaystyle{ x_n = \frac{1}{{2n\pi + \frac{\pi }{2}}},y_n = \frac{1}{{2n\pi + \frac{{3\pi }}{2}}} }$ οι οποίες τείνουν και οι δύο στο μηδέν.
Η μία δίνει όριο το $\displaystyle{ + \infty }$ και η έτερη το $\displaystyle{ - \infty }$
όταν το $\displaystyle{ n \to + \infty }$
Αντίφαση
Αρα δεν υπάρχει το όριο.
Αυτή θα ήταν πολύ καλή για το φακελό μου!
Με πρόλαβε ο Μιχάλης.Την αφήνω όμως!

parmenides51 · #4

πολύ δύσκολη για ΑΣΕΠ κατά την γνώμη μου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Μια παρόμοια αναπάντητη, viewtopic.php?f=53&t=381

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Re: Ενδιαφέρον τριγωνομετρικό όριο με άπειρο

Μέλη σε σύνδεση