ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

pablakos_09 · #1

Να αποδειχθεί ότι όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y' + y log(2+x³) = sinx² είναι φραγμένες στο [0,+∞)..............

#2

Μιά πολύ συντομη περιγραφή τής απόδειξης:

α) Επέλυσε τήν ομογενή $y^{\prime}+\log(2+x^3)\,y=0$ , ή οποία είναι διαχωρισίμων μεταβλητών.

β) Βρές μιά μερική λύση $y_\mu$ τής $y^{\prime}+\log(2+x^3)\,y=\sin(x^2)$ μέ τόν τύπο τού ολοκληρώματος, ή μέ τήν μέθοδο μεταβολής τών σταθερών.

γ) τό δύσκολο μέρος τής άσκησης είναι νά δείξει κανείς ότι οί λύσεις πού βρέθηκαν είναι φραγμένες.

#3

pablakos_09 έγραψε:Να αποδειχθεί ότι όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης y' + y log(2+x³) = sinx² είναι φραγμένες στο [0,+∞)..............

Υποθέτω ότι στην θεωρία που διδάσκεσαι, θα υπάρχουν θεωρήματα που καλύπτουν αυτή την περίπτωση. Αλλιώς, μπορούμε ανεξάρτητα ως εξής:

Υπόδειξη: Με χρήση ολοκληρωτικού παράγοντα έχουμε λύσεις της μορφής

$e^{-\int_{0}^{x}{log(2+t^3)}dt}\int_{0}^{x}{(sinu^2)e^{\int_{0}^{u}log(2+t^3)dt}du$

Ο πρώτος όρος τείνει στο 0 καθως χ τείνει στο άπειρο.
Στον δεύτερο όρο (με το ολοκλήρωμα από 0 έως x) κάνουμε την αντικατάσταση
u^2 = s

. Αυτό θα κατεβάσει ένα s στον παρονομαστή, και το ολοκλήρωμα που προκύπτει αποδεικνύεται φραγμένο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

pablakos_09 · #4

Σ' ευχαριστω πολυ grigkost αλλα αν μπορει καποιος ας δωσει αναλυτικη λυση...

pablakos_09 · #5

Ναι σωστα. Ευχαριστω πολύ και τους δυο!!

#6

Μία αναλυτικότερη απόδειξη:

Οί λύσεις τής διαφορικής εξίσωσης $y^{\prime}+y\,\log\!\left({2+x^3}\right)=\sin\!\left({x^2}\right)$ στό διάστημα $\left[{0,\,+\infty}\right)$ είναι οί

$y(x)=\displaystyle{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{y(0)+\int_0^x{\sin\!\left({x^2}\right)e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right]$ , γιά τίς οποίες ισχύει:

$\displaystyle\left|{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}\left[{y(0)+\int_0^x{\sin\!\left({x^2}\right)e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right]}\right| \leq$

$\displaystyle{e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+\int_0^x{\left|{\sin\!\left({x^2}\right)}\right|e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right] \leq$

$\displaystyle { e^{-\int_0^x{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+\int_0^x{e^{\int_0^t{\log({2+u^3})\,du}}\,dt}}\right] \stackrel{\Theta.{\rm{M}}.{\rm{T}}.}{=}$

$\displaystyle{e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}}\left[{\left|{y(0)}\right|+x\,e^{\int_0^{t_x}{\log({2+u^3})\,du}}}\right]=\left|{y(0)}\right|e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}+x\,e^{-\int_{t_x}^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}$ καί

$\mathop{\lim}\limits_{x\to{+\infty}}\left|{y(0)}\right|e^{-\int_0^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}=\mathop{\lim}\limits_{x\to{+\infty}}x\,e^{-\int_{t_x}^{x}{\log({2+t^3})\,dt}}=0$ .

Άρα οί λύσεις τής εξίσωσης είναι φραγμένες στό διάστημα $\left[{0,\,+\infty}\right).\quad\square$

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Re: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

Μέλη σε σύνδεση