Μπορεί να υπολογιστεί;

Ωmega Man · #1

Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση και αν συγκλίνει να υπολογιστεί η σειρά,

$\displaystyle{\bf \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{n\pi}{p+n}\right)^{n+1}}$ για $\displaystyle{\bf 0<p<1}$ .

#2

Ωmega Man έγραψε:Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση και αν συγκλίνει να υπολογιστεί η σειρά,

$\displaystyle{\bf \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{n\pi}{p+n}\right)^{n+1}}$ για $\displaystyle{\bf 0<p<1}$ .

Αποκλίνει ανεξάρτητα του p όπου, γενικότερα, p >0

. Πράγματι, ο γενικός όρος είναι

$\displaystyle{\frac{1}{n}\left(\frac{n\pi}{p+n}\right)^{n+1}= \frac{1}{n} \frac {\pi ^ {n+1}}{(1+ \frac{p}{n})^{n+1}} \approx \frac {\pi ^ {n+1}}{ne^p}\rightarrow \infty}$

Γιώργο, μήπως ζητάς κάτι άλλο;

Φιλικά,

Μιχάλης

Ωmega Man · #3

Όντως άλλο ζητάω,

$\displaystyle{\bf \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{n \color{red}p}{p+n}\right)^{n+1}}$ για $\displaystyle{\bf 0<p<1}$ .

#4

Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων $\displaystyle{{a_k} = {\sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{n}\left( {\frac{{np}}{{n + p}}} \right)} ^{n + 1}}}$ είναι αύξουσα (προστίθενται θετικοί όροι). Επίσης

$\displaystyle{0 \leqslant {\sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{n}\left( {\frac{{np}}{{n + p}}} \right)} ^{n + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{{p^{n + 1}}}}{n}\frac{1}{{{{\left( {1 + \frac{p}{n}} \right)}^{n + 1}}}}} \leqslant p\sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{{p^n}}}{n}} \leqslant p\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{p^n}}}{n}} = - p\ln \left( {1 - p} \right)}$ (διότι 0<p<1)

).

Δηλαδή η ακολουθία $\displaystyle{{a_k}}$ είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη, συνεπώς η σειρά συγκλίνει. Η τιμή της … χμ .. θα δούμε, δύσκολο το βλέπω να έχει κλειστό τύπο..

#5

Αλλιώς, για την σύγκλιση μόνο.

Μπορούμε και από το κριτήριο ρίζας:

$\displaystyle{\sqrt[n]{ {\frac{1}{n}\left( {\frac{{np}}{{n + p}}} \right)} ^{n + 1}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n} } \left( {\frac{{n}}{{n + p}}} \right)} ^{1 + 1/n}}} p^{1+1/n} \rightarrow 1\cdot 1 \cdot p < 1 }$

Για το άθροισμα, δεν ξέρω.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μπορεί να υπολογιστεί;

Μπορεί να υπολογιστεί;

Re: Μπορεί να υπολογιστεί;

Re: Μπορεί να υπολογιστεί;

Re: Μπορεί να υπολογιστεί;

Re: Μπορεί να υπολογιστεί;

Μέλη σε σύνδεση