Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

Ωmega Man · #1

εἰρήνη ὑμῖν λοιπόν και επανέρχομαι μετά την μπόρα με ένα ωραίο συνδιαστικό θέμα που μεταφράζω από το βιβλίο του Pap Endre το οποίο αγόρασα τώρα τελευταία και συνιστώ ανεπιφύλακτα σε όποιον θέλει να ασχοληθεί με μιγαδική ανάλυση.

Έστω $\displaystyle{\bf F(z)=\frac{1}{\sin(z)}-\frac{1}{z}}$ .

1. Να βρεθούν οι μεμονωμένες ανωμαλίες της $\displaystyle{\bf F(z)}$ . Είναι η $\displaystyle{\bf f(z)=\begin{cases}\bf F(z) &\bf ,\;z\neq 0 \\\bf 0 &\bf ,\;z=0\end{cases}}$ αναλυτική στο σημείο 0;

2. Να βρεθούν τα υπόλοιπα της $\displaystyle{\bf f}$ σε όλους τους πόλους.

3. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\bf \left|\frac{1}{\sin(z)}\right|^{2}=\frac{2}{\cosh(2y)-\cos(2x)}}$ .

4. Να δείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός $\bf n_{0}$ τέτοιος ώστε η συνάρτηση $\bf f$ να είναι φραγμένη ανεξάτητα από $\bf n\geq n_{0}$ στο σύνορο του τετραγώνου $\bf K_{n}$ το οποίο δίνεται από τις
$\bf z=\pm(n+1/2)\pi+it,\;\;-(n+1/2)\pi\leq t\leq (n+1/2)\pi$
$\bf z=t\pm i(n+1/2)\pi,\;\;-(n+1/2)\pi\leq t\leq (n+1/2)\pi$

5. Για αυθαίρετο αλλά σταθερό $\displaystyle{\bf n\in\mathbb{N}}$ να βρεθεί το ολοκλήρωμα,
$\displaystyle{\colorbox{orange}{\boxed{\bf I_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_{n}}\frac{f(u)}{u(u-z)}\;\texttt{d}u}}}$

6. Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\bf \lim_{n\longrightarrow +\infty}I_{n}=0}$ καθώς και η ισότητα $\displaystyle{\bf F(z)=2z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}$ .

$\displaystyle{\color{redrose}\rule{150pt}{1pt}}$
Επίσης θα ήταν θεμιτό να απαντηθούν με την σειρά που δίνονται. Επαναφέρω και ένα άλλο παλιότερο που είχα βάλει, καθώς θα ήθελα να δω κάποιες λύσεις here

#2

Ωmega Man έγραψε:καθώς και η ισότητα $\displaystyle{\bf F(z)=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}$ .
...

Γιώργο, μήπως λείπει ένα

από την τελευταία ισότητα; Δεν δοκίμασα την άσκηση αλλά υποψιάζομαι ότι $\displaystyle{ \bf F(z)=2z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{z^{2}-(n\pi)^{2}}}$

Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

Re: Ένα συνδιαστικό μιγαδικής.

Μέλη σε σύνδεση