Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Ιστοσελίδα · #1

Κάθε συνεχής πραγματική περιοδική συνάρτηση που ορίζεται ορίζεται σε όλο το $\mathbb{R}$ είναι και ομοιόμορφα συνεχής.

#2

Έστω

η ελάχιστη θετική περίοδος της

.

Ας θεωρήσουμε $\{x_n\}$ , $\{y_n\}$ δυο ακολουθίες τέτοιες ώστε $x_n-y_n \to 0$ καθώς $n\to \infty$ .

Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός

τέτοιος ώστε |x_n-y_n|<T

για κάθε $n\geq m$ .

Συνεπώς, για κάθε n>m

, θα υπάρχει ακέραιος z_n

τέτοιος ώστε $x'_n=x_n-z_nT \in [0,2T]$ και $y'_n=y_n-z_nT \in [0,2T]$ .

Τότε

$|f(x_n)-f(y_n)|=|f(x'_n)-f(y'_n)| \to 0$

καθώς $n \to \infty$ αφού $x'_n-y'_n \to 0$ και ο περιορισμός της

στο

είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #3

achilleas έγραψε:Έστω η ελάχιστη θετική περίοδος της .

Ας θεωρήσουμε $\{x_n\}$ , $\{y_n\}$ δυο ακολουθίες τέτοιες ώστε $x_n-y_n \to 0$ καθώς $n\to \infty$ .

Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε για κάθε $n\geq m$ .

Συνεπώς, για κάθε , θα υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε $x'_n=x_n-z_nT \in [0,2T]$ και $y'_n=y_n-z_nT \in [0,2T]$ .

Τότε

$|f(x_n)-f(y_n)|=|f(x'_n)-f(y'_n)| \to 0$

καθώς $n \to \infty$ αφού $x'_n-y'_n \to 0$ και ο περιορισμός της στο είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Απλά και εύκολα...
Ερώτηση : Η διευκρίνιση Τ η ελάχιστη θετική περίοδος απαιτείται;
Είχα την εντύπωση ότι η περίοδος ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός αριθμός που...

#4

polysot έγραψε: Ερώτηση : Η διευκρίνιση Τ η ελάχιστη θετική περίοδος απαιτείται;
Είχα την εντύπωση ότι η περίοδος ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός αριθμός που...

Έχεις δίκιο, η φράση "ελάχιστη θετική" είναι περιττή.---> Βιαστικότατη απάντηση! Ναι, απαιτείται..δείτε το παρακάτω μήνυμα.

Παρεπιμπτόντως, έχεις κάποια άλλη λύση για το παραπάνω;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #5

achilleas έγραψε:
polysot έγραψε: Ερώτηση : Η διευκρίνιση Τ η ελάχιστη θετική περίοδος απαιτείται;
Είχα την εντύπωση ότι η περίοδος ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός αριθμός που...
Έχεις δίκιο, η φράση "ελάχιστη θετική" είναι περιττή.

Παρεπιμπτόντως, έχεις κάποια άλλη λύση για το παραπάνω;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Την ίδια στις λεπτομέρειες πχ δούλεψα στο [-Τ,Τ] και στη συνέχεια ομοιόμορφη συνέχεια στο κλειστό με τον ίδιο τρόπο με σένα.

#6

polysot έγραψε: Ερώτηση : Η διευκρίνιση Τ η ελάχιστη θετική περίοδος απαιτείται;
Είχα την εντύπωση ότι η περίοδος ορίζεται ως ο ελάχιστος θετικός αριθμός που...

Ας μου επιτραπεί να διορθώσω τη βιαστικότατη απάντηση μου στο παραπάνω ερώτημα.

Η διευκρίνιση απαιτείται. Η απόδειξη θα πρέπει να συμπληρωθεί από το εξής:

"Αν η $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι συνεχής και περιοδική και δεν έχει ελάχιστη θετική περίοδο, τότε είναι σταθερή".

Φιλικά,

Αχιλλέας

Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Re: Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Re: Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Re: Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Re: Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Re: Συνεχείς περιοδικές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση