Σειρά

Tolaso J Kos · #1

Είχαμε δει πριν χρόνια μία παρόμοια σειρά εδώ .

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{5} \sum_{n=0}^{\infty} \left( - \frac{1}{27} \right)^n \binom{3n}{n} = \sqrt[3]{\varphi} + \frac{1}{\sqrt[3]{\varphi}}}$
όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.

nickolas tsik · #2

Ορίζουμε
$\displaystyle G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n, \quad a_n=\binom{3n}{n}.$
Εστω
$\displaystyle f(u)=\frac{u}{(1+u)^3},$
με f(0)=0

και

.
Έστω

η αντίστροφη γύρω από το

, δηλαδή
$\displaystyle z = f\bigl(u(z)\bigr).$
Θέλουμε να δείξουμε ότι
$\displaystyle u(z)=\sum_{n=1}^\infty \binom{3n}{n}\,z^n,$
οπότε G(x)=1+u(x)

.
Ορίζουμε
$\displaystyle [z^n]\,u(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=\varepsilon}\frac{u(z)}{z^{n+1}}\,dz.$
αλλαγη: z=f(u)

, έχουμε $dz=f'(u)\,du$ .
Άρα
$\displaystyle [z^n]\,u(z) =\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{u}{f(u)^{n+1}}\,f'(u)\,du.$
Παρατηρούμε
$\displaystyle \frac{u\,f'(u)}{f(u)^{n+1}} =\frac{d}{du}\!\bigl(\tfrac{u}{f(u)^n}\bigr).$
$\displaystyle [z^n]\,u(z) =\frac{1}{n}\,[u^{\,n-1}]\Bigl(\frac{u}{f(u)}\Bigr)^{n}.$
Αλλά
$\displaystyle \frac{u}{f(u)}=(1+u)^3,$
οπότε
$\displaystyle \Bigl(\tfrac{u}{f(u)}\Bigr)^n=(1+u)^{3n} \quad\Longrightarrow\quad [u^{n-1}](1+u)^{3n} =\binom{3n}{n-1} =\frac{n}{3n}\binom{3n}{n}.$
Συνεπώς
$\displaystyle [z^n]\,u(z] =\frac{1}{n}\;\frac{n}{3n}\binom{3n}{n} =\frac{1}{3n}\binom{3n}{n}.$
$\displaystyle u(z)=\sum_{n=1}^\infty \binom{3n}{n}\,z^n, \quad G(x)=1+u(x)=\sum_{n=0}^\infty \binom{3n}{n}\,x^n.$
Το ζητούμενο είναι
$\displaystyle S =\sqrt5\sum_{n=0}^\infty\binom{3n}{n}\Bigl(-\tfrac1{27}\Bigr)^n =\sqrt5\,G\!\bigl(-\tfrac1{27}\bigr) =\sqrt5\bigl[1+u_0\bigr],$
όπου $u_0 = u(-\tfrac1{27})$ .
Από ορισμό z=f(u)

με $z=-\tfrac1{27}$ προκύπτει
$\displaystyle \frac{u_0}{(1+u_0)^3}=-\frac1{27} \quad\Longrightarrow\quad (1+u_0)^3 + 27\,u_0 = 0.$
$\displaystyle (1+u_0)^3 = 1 + 3u_0 + 3u_0^2 + u_0^3 \;\Longrightarrow\; u_0^3 + 3u_0^2 + 30u_0 + 1 = 0.$ το ζητούμενο έπεται
Μπορέι να έχω σφάλλει στις πράξεις(και αυτες που δεν εμφανιζω στο ποστ) αλλά είναι σωστό κατ εξοχήν

Tolaso J Kos · #3

Ναι, η τεχνική είναι αυτή. Το γενικότερο υπάρχει εδώ.

Dimessi · #4

Διαφορετικά.
Σπάμε το
$\displaystyle \binom{3n}{n}=\binom{2n}{n}+\frac{\left( 3n \right)!}{n!\left( 2n \right)!}-\frac{\left( 2n \right)!}{\left( n! \right)^{2}}=\binom{2n}{n}+\frac{\left( 2n \right)!\left( \displaystyle\prod_{k=2n+1}^{3n}k-\prod_{k=n+1}^{2n}k \right)}{n!\left( 2n \right)!}$
για όλα τα $\displaystyle n\geqslant 1\implies \frac{1}{n!}\left( \prod_{k=2n+1}^{3n}k-\prod_{k=n+1}^{2n}k \right)=\frac{1}{n!}\left( \left( 2n+1 \right)_{n}-\left( n+1 \right)_{n} \right)$
έχουμε τη δυναμοσειρά $\displaystyle S\left( x \right)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \binom{2n}{n}+\frac{1}{n!} \left( \left( 2n+1 \right)_{n}-\left( n+1 \right)_{n} \right)\right)x^{n}$ .
Ως $\displaystyle \left( a \right)_{n}=\begin{Bmatrix} a\left( a+1 \right)...\left( a+n-1 \right),n\geqslant 1 &\\1,n=0& \end{Bmatrix}$ ορίζεται το σύμβολο του Pochammer και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις έχουν την μορφή $\displaystyle _{m_{1}}F_{m_{2}}\left( a_{1},a_{2},...,a_{m_{1}}; b_{1},b_{2},...,b_{m_{2}};z \right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( a_{1} \right)_{n}\cdot \left( a_{2} \right)_{n}\cdot ...\cdot \left( a_{m_{1}} \right)_{n}\cdot z^{n}}{\left( b_{1} \right)_{n}\cdot \left( b_{2} \right)_{n}\cdot ...\cdot \left( b_{m_{2}} \right)_{n}\cdot n!}$
Για όλα τα $\displaystyle -1/4< x<\frac{1}{4}\implies \sum_{n=1}^{\infty}\binom{2n}{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left( 2n \right)!}{\left( n! \right)^{2}}x^{n}-1=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}-1$ που είναι γεννήτρια συνάρτηση (στοιχειώδης απόδειξη με το γενικευμένο ανάπτυγμα του δυωνυμου γιατί από το ανάπτυγμα του Νεύτωνα έχουμε $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\displaystyle \left( -\frac{1}{2} \right)\left( -\frac{1}{2}-1 \right)\left( -\frac{1}{2}-2 \right)...\left( -\frac{1}{2}-n+1 \right)\left( -4x \right)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot \left( 2n-1 \right)2^{n}\cdot n!}{\left( n! \right)^{2}}x^{n}$
$\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^{n}$ ).
Για όλα τα $\displaystyle \left| x \right|< 4/27$ η δυναμοσειρά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left( 2n+1 \right)_{n}x^{n}$ συγκλίνει.
Έχουμε $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{27}{4}x$ και γι αυτό ισχύει η σύγκλιση .
Η ιδέα είναι να γράψουμε από το δυωνυμικο ανάπτυγμα του Νεύτωνα
$\displaystyle \lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^{m}\sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{n}\binom{n}{k}\left( x-1 \right)^{k}=\lim_{m \to +\infty} \sum_{k=0}^{m}\sum_{n=1}^{m}\binom{3n}{n}\binom{n}{k}\left( x-1 \right)^{k}$
και να πάρουμε διπλή σειρά με μιγαδική ολοκλήρωση(γενικεύεται μάλιστα με το θεώρημα των Mellin-Barnes) το
$\displaystyle S\left( x \right)==-\frac{1}{2i\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\pi\csc \left( \pi y \right)\frac{\left( -x \right)^{y}\Gamma \left( 3y+1 \right)}{\Gamma \left( 2y+1 \right)\Gamma\left( y+1 \right)}dy=\frac{1}{2i\pi}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\pi}}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma \left( y+\displaystyle\frac{1}{3} \right)\Gamma \left( y+\displaystyle\frac{2}{3} \right)\Gamma \left( -y \right)}{\Gamma \left( y+\displaystyle\frac{1}{2} \right)}\left( -\frac{27}{4}x \right)^{y}dy$
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4\pi}}\frac{\Gamma\left(\displaystyle \frac{1}{3} \right)\Gamma\left( \displaystyle \frac{2}{3} \right)}{\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)} F_{1}\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{1}{2};\frac{27}{4}x \right)$
που από Chebychev είναι $\displaystyle \left( 1-\frac{27}{4}x \right)^{-1/2}\cos \left( \frac{1}{3}\arcsin \sqrt{\frac{27}{4}x} \right)$
για κάθε $\displaystyle 0\leqslant x<\frac{4}{27}$
Υ.Γ Κατεβάζω την πολύπλοκη λύση που είχα ανεβάσει γιατί η άσκηση είναι απλή και το mathtype είναι για αυτοκτονία. Την μία δεν βρίσκω το ένα σύμβολο την άλλη πατιέται άλλα ντ' άλλα. Γι αυτό δεν γράφω στο φορουμ συχνά.
Για τη λύση που είχα γράψει χρειάζεται η συνάρτηση $\displaystyle \eta\left( z \right)=e^{\displaystyle\frac{zi\pi}{12}}\prod_{k=1}^{\infty}\left( 1-e^{2zki\pi}\right),z\in C$
με $\displaystyle Im\left( z \right)>0$ που στο άνω μιγαδικό ημιεπίπεδο η σύγκλισή της είναι ομοιόμορφη από Weirstrass.'Ομως άλλαξα πλεύση γιατί είναι απελπιστικα επίπονη η πληκτρολόγηση πόσο μάλλον όταν το λογισμικό σου τρώει τις μεταβλητές.

Σειρά

Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά

Μέλη σε σύνδεση