Σύγκλιση ολοκληρώματος 02

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{1}^{\pi}\frac{-\log({\sin{x}})}{\log{x}}\,{\rm{d}}{x}$

#2

Δίνουμε και μια λύση:

Η συνάρτηση $-\log({\sin{x}})$ είναι φθίνουσα και θετική στο διάστημα $\big[{1,\frac{\pi}{2}}\big)$ . Επομένως, για c>0

με $c<-\log(\sin{1})$ , υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε, για κάθε $x\in\big({1,1+\delta}\big]\subset \big({1,\frac{\pi}{2}}\big)$ , να ισχύει

$\begin{aligned} -\log({\sin{x}})\geqslant c\quad\stackrel{\log{x}>0}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad -\frac{\log({\sin{x}})}{\log{x}}\geqslant \frac{c}{\log{x}}>0\,.\qquad (1) \end{aligned}$

Επίσης, για $x\in({1,\pi})$ , ισχύει

$\begin{aligned} \frac{1}{\log{x}}>\frac{1}{x-1}>0\,.\qquad(2) \end{aligned}$

Επομένως

$\begin{aligned} \int_{1}^{1+\delta}\frac{-\log({\sin{x}})}{\log{x}}\,{\rm{d}}x&\stackrel{(1)}{\geqslant}\int_{1}^{1+\delta}\frac{c}{\log{x}}\,{\rm{d}}x\stackrel{(2)}{\geqslant} c\int_{1}^{1+\delta}\frac{\,{\rm{d}}x}{x-1}\\\noalign{\vspace{0.15cm}} &\stackrel{\begin{subarray}{c} {t\,=\,x-1} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {{\rm{d}}t\,=\,{\rm{d}}x} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}{=\!=\!=\!=\!=}\int_{0}^{\delta}\frac{{\rm{d}}t}{t}=+\infty\,. \end{aligned}$

Επειδή $\frac{-\log({\sin{x}})}{\log{x}}\geqslant0$ για κάθε $x\in({1,\pi})$ , συμπεραίνουμε ότι $\bigintsss_{\,1}^{\pi}\frac{-\log({\sin{x}})}{\log{x}}\,{\rm{d}}x=+\infty$ .

Σύγκλιση ολοκληρώματος 02

Σύγκλιση ολοκληρώματος 02

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 02

Μέλη σε σύνδεση