Γινόμενο #9

Tolaso J Kos · #1

Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ , να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{j=1}^{\infty} \left( \frac{j+1}{j} \right)^n \frac{j}{n+j} = n!}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 01, 2025 10:38 pm
Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ , να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\prod_{j=1}^{\infty} \left( \frac{j+1}{j} \right)^n \frac{j}{n+j} = n!}$

.
Για δοθέν σταθερό

εξετάζουμε το μερικό γινόμενο, έως τον Ν-οστό παράγοντα. Το μερικό αυτό γινόμενο, σπάσει σε δύο επιμέρους γινόμενα ως

$\displaystyle{\left [ \prod_{j=1}^{N} \left( \frac{j+1}{j} \right)^n \right ]\left [ \prod_{j=1}^{N}\frac{j}{n+j}\right ]$

Και τα δύο είναι τηλεσκοπικά. Συγκεκριμένα, μετά τις απλοποιήσεις γίνονται, για προφανείς λόγους,

$\displaystyle{\left [ (N+1)^n \right ]\left [ \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n }{(1+N)\cdot (2+ N) \cdot (3+N) \cdot ... \cdot ( n+N)}\right ]=$

$\displaystyle{n! \left [ \frac{(N+1)^n }{(1+N)\cdot (2+ N) \cdot (3+N) \cdot ... \cdot ( n+N)}\right ]=$

Παίρνοντας τώρα όριο $N\to \infty$ , δεδομένου ότι η δεξιά αγκύλη έχει στον αριθμητή και στον παρονομαστή ίσο πλήθος (σταθερό

) παραγόντων, έχει όριο

$n! \cdot 1= n!$ , όπως θέλαμε.

Γινόμενο #9

Γινόμενο #9

Re: Γινόμενο #9

Μέλη σε σύνδεση