Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{\pi/2} \left ( \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right )^{2n} f(x) \, \mathrm{d}x }$

M.S.Vovos · #2

Γεια σου Τόλη!

Θεωρώ την ακολουθία $h_{n}\in L^{1}\left ( \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ] \right )$ με $h_{n}(x)=g_{n}(x)f(x)$ , όπου $\displaystyle{g_{n}(x)=n\left ( \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \right )^{2n}}$ . Τώρα, μπορούμε να δείξουμε ότι αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ ισχύει $g_{n}\rightarrow 0$ (απλό) επομένως αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ τότε $h_{n}\rightarrow 0\cdot f(x)=0$ . Επίσης, αφού $g_{n}\rightarrow 0$ υπάρχει M>0

ώστε για κάθε $n\in \mathbb{N}$ να ισχύει $\left | g_{n}(x) \right |\leq M$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ . Επομένως, $\left |h_{n}(x) \right |\leq M\left | f(x) \right |$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ και η $t(x)=M\left | f(x) \right |$ είναι ολοκληρώσιμη. Από θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έπεται ότι:

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]}h_{n}=\int_{\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]}0=0}$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η συνέχεια δεν χρειάζεται μόνο η ολοκληρωσιμότητα. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποια πατάτα.

Υπάρχει λάθος στη λύση όπως γράφει ο Σταύρος παρακάτω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 2:36 pm
Γεια σου Τόλη!

Θεωρώ την ακολουθία $h_{n}\in L^{1}\left ( \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ] \right )$ με $h_{n}(x)=g_{n}(x)f(x)$ , όπου $\displaystyle{g_{n}(x)=n\left ( \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \right )^{2n}}$ . Τώρα, μπορούμε να δείξουμε ότι αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ ισχύει $g_{n}\rightarrow 0$ (απλό) επομένως αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ τότε $h_{n}\rightarrow 0\cdot f(x)=0$ . Επίσης, αφού $g_{n}\rightarrow 0$ υπάρχει ώστε για κάθε $n\in \mathbb{N}$ να ισχύει $\left | g_{n}(x) \right |\leq M$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ . Επομένως, $\left |h_{n}(x) \right |\leq M\left | f(x) \right |$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ και η $t(x)=M\left | f(x) \right |$ είναι ολοκληρώσιμη. Από θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έπεται ότι:

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]}h_{n}=\int_{\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]}0=0}$

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η συνέχεια δεν χρειάζεται μόνο η ολοκληρωσιμότητα. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποια πατάτα.

Τα παρακάτω δεν ισχύουν

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 2:36 pm
Τώρα, μπορούμε να δείξουμε ότι αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ ισχύει $g_{n}\rightarrow 0$ (απλό)

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 2:36 pm
Επίσης, αφού $g_{n}\rightarrow 0$ υπάρχει ώστε για κάθε $n\in \mathbb{N}$ να ισχύει $\left | g_{n}(x) \right |\leq M$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ .

M.S.Vovos · #4

Τα παρακάτω δεν ισχύουν

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 2:36 pm
Τώρα, μπορούμε να δείξουμε ότι αν $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ ισχύει $g_{n}\rightarrow 0$ (απλό)

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 2:36 pm
Επίσης, αφού $g_{n}\rightarrow 0$ υπάρχει ώστε για κάθε $n\in \mathbb{N}$ να ισχύει $\left | g_{n}(x) \right |\leq M$ , για κάθε $x\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ .

Υποπτευόμουν ότι δεν θα πάει καλά το συγκεκριμένο σημείο. Θα το ξαναδώ Σταύρο σε ευχαριστώ πολύ. Σώζεται με το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης ή θέλει ξήλωμα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 19, 2021 4:43 pm
Τα παρακάτω δεν ισχύουν

Υποπτευόμουν ότι δεν θα πάει καλά το συγκεκριμένο σημείο. Θα το ξαναδώ Σταύρο σε ευχαριστώ πολύ. Σώζεται με το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης ή θέλει ξήλωμα;

Για μην το χαλάσω ,την απάντηση στον Μάριο την βάζω σε απόκρυψη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ