Σταθερό σημείο αύξουσας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η
$f:[0,1]\rightarrow [0,1]$
η οποία είναι αύξουσα.
Υπάρχει $c\in [0,1]$
με f(c)=c

;

#2

Ναι, υπάρχει.

Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο. Έστω $f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow \left[ 0,1 \right]$ μια αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε $f\left( x \right) \ne x$ για κάθε $x \in \left[ 0,1 \right]$ . Θεωρούμε το σύνολο

$A=\left\{ x\,\,\in \left[ 0,1 \right] \,\,: f\left( x \right) >x \right\}.$

Είναι $A\ne \varnothing$ , γιατί από την υπόθεσή μας έχουμε ότι $f\left( 0 \right) >0,$ άρα $0 \in A$ .
Επίσης, $A\subseteq \left[ 0,1 \right] ,$ οπότε το

είναι άνω φραγμένο.
Έστω $s=\text{sup}A$ . Προφανώς, είναι $s\in \left[ 0,1 \right]$ . Θα αποδείξουμε ότι $f\left( s \right) =s,$ καταλήγοντας σε άτοπο και αποδεικνύοντας το ζητούμενο.

$\bullet$ Αν ήταν $f\left( s \right) > s,$ τότε για κάθε $x \in \left( s,f\left( s \right) \right)$ θα είχαμε ότι $x\notin A$ , άρα $f\left( x \right) <x<f\left( s \right)$ , πράγμα άτοπο, αφού η

είναι αύξουσα.

$\bullet$ Αν ήταν $f\left( s \right) <s,$ τότε θα υπήρχε $x \in \left( f\left( s \right), s \right)$ τέτοιο, ώστε $x \in A$ , άρα $f\left( x \right) >x >f\left( s \right)$ , πάλι άτοπο, αφού η

είναι αύξουσα.

Άρα, θα ισχύει $f\left( s \right) =s,$ οπότε το συμπέρασμα έπεται.

Ας σημειωθεί ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει αν υποθέσουμε ότι η

είναι φθίνουσα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση
$f\left( x \right) =\begin{cases} 1,& x=0\\ 0,& 0<x\leqslant 1\\ \end{cases}$
είναι φθίνουσα, χωρίς σταθερό σημείο.

Μπορούμε να βρούμε και αντιπαράδειγμα με γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, π.χ. την
$f\left( x \right) =\begin{cases} \dfrac{2-x}{2},& 0\leqslant x<\frac{1}{2}\\ \dfrac{1-x}{2},& \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1\\ \end{cases}$ .

Σταθερό σημείο αύξουσας

Σταθερό σημείο αύξουσας

Re: Σταθερό σημείο αύξουσας

Μέλη σε σύνδεση