Ύπαρξη μετρικής

#1

Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$ , τέτοια ώστε το σύνολο $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ , εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 7:18 pm
Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$ , τέτοια ώστε το σύνολο $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ , εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;

Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$ .

(*) Λέμε ότι οι μετρικές $\rho_1,\,\rho_2$ (ορισμένες επί ενός συνόλου

) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί

και

, τέτοιοι ώστε για κάθε $x,y\in X$ να ισχύει $a\,\rho_1(x,y)\leqslant\rho_2(x,y)\leqslant b\,\rho_1(x,y)\,.$

#4

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 9:45 pm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 7:18 pm
Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$ , τέτοια ώστε το σύνολο $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ , εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος;
Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*) με την συνήθη μετρική $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$ .

(*) Λέμε ότι οι μετρικές $\rho_1,\,\rho_2$ (ορισμένες επί ενός συνόλου ) είναι ισχυρά ισοδύναμες, αν και μόνο αν, υπάρχουν θετικοί και , τέτοιοι ώστε για κάθε $x,y\in X$ να ισχύει $a\,\rho_1(x,y)\leqslant\rho_2(x,y)\leqslant b\,\rho_1(x,y)\,.$

Όχι δεν υπάρχει ισχυρά ισοδύναμη μετρική που κάνει τον χώρο πλήρη: Με χρήση του γεγονότος ότι οι ισοδύναμες μετρικές έχουν τις ίδιες συγκλίνουσες και τις ίδιες ακολουθίες Cauchy (άμεσο), εξετάζουμε την ακολουθία $\frac {\pi}{2} - \frac {1}{n}$ . Είναι Cauchy ως προς την ισχυρά ισοδύναμη μετρική επειδή είναι Cauchy ως προς την συνήθη. Αλλά ως προς την συνήθη μετρική δεν συγκλίνει (το υποψήφιο όριο $\frac {\pi}{2}$ είναι εκτός χώρου), άρα δεν συγκλίνει ούτε ως προς την ισοδύναμη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Εστω $f:(- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\rightarrow \mathbb{R}$

γνησίως αύξουσα με

$f((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))=\mathbb{R}$
(αυτόματα θα είναι και συνεχής)

π.χ $f(x)=\tan x$

Η $\rho (x,y)=|f(x)-f(y)|$
είναι μετρική (μόνο το 1-1 χρειάζεται για αυτό)

είναι ισοδύναμη με την συνήθη γιατί

$x_{n}\rightarrow x\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x)$

λόγω συνέχειας της

και

$f(x_{n})\rightarrow f(x) \Rightarrow x_{n} \rightarrow x$

λόγω συνέχειας της $f^{-1}$

Θα δείξουμε τώρα ότι ο $((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )$
είναι πλήρης.

Εστω $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$

βασική στον $((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )$

Τότε η $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb{N}}$

είναι βασική στο $\mathbb{R}$

Αφού είναι πλήρης

$f(x_{n})\rightarrow a,a\in \mathbb{R}$

Αλλά υπάρχει $x\in \mathbb{R}$

με f(x)=a

Αρα $x_{n}\rightarrow x$ στον

$((- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),\rho )$

και τελειώσαμε.

Γενικότερα ισχύει : αν

ανοικτό του πλήρους μετρικού χώρου (X,d)

τότε με την μετρική

$\rho (x,y)=d(x,y)+|\frac{1}{dis(x,X-U)}-\frac{1}{dis(y,X-U)}|$

ο $(U,\rho )$

είναι πλήρης.

Ύπαρξη μετρικής

Ύπαρξη μετρικής

Re: Ύπαρξη μετρικής

Re: Ύπαρξη μετρικής

Re: Ύπαρξη μετρικής

Re: Ύπαρξη μετρικής

Μέλη σε σύνδεση