Ακολουθία και σύγκλιση

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Εάν για την ακολουθία $\{a_n\}$ ισχύει ότι:
$a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N}$ να υπολογίσετε το άθροισμα:
$a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}$ .

#2

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am
Εάν για την ακολουθία $\{a_n\}$ ισχύει ότι:
$a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N}$ να υπολογίσετε το άθροισμα:
$a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}$ .

$\displaystyle {a_1} = c$ και $\displaystyle {a_{n + 1}} = 2\sqrt {4 - 2{a_n}}$ . Για λόγους ευκολίας θέτουμε $\displaystyle {a_n} = 2{x_n}$ , οπότε $\displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}}$ , με $\displaystyle {x_1} = \frac{c}{2}$ .

Φανερά $\displaystyle \forall n \ge 2:0 \le {x_n} \le 2$ δηλαδή $\displaystyle {x_n}:$ φραγμένη.

Επίσης $\displaystyle {x_{n + 1}} - {x_n} = 2\sqrt {1 - {x_n}} - 2\sqrt {1 - {x_{n - 1}}} = \frac{{ - 2\left( {{x_n} - {x_{n - 1}}} \right)}}{{\sqrt {1 - {x_n}} + \sqrt {1 - {x_{n - 1}}} }} \Rightarrow {x_n}:$ όχι μονότονη.

Όμως προκύπτουν μονότονες, με διαφορετική μονοτονία, οι υπακολουθίες $\displaystyle {x_{2n - 1}}$ και $\displaystyle {x_{2n}}$ , επομένως ως φραγμένες συγκλίνουν, που από την

αναδρομική σχέση $\displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}}$ προκύπτει ότι έχουν κοινό όριο $\displaystyle \lambda$ όπου $\displaystyle \lambda = 2\sqrt {1 - \lambda } \Rightarrow {\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ .

Η δεύτερη λύση της εξίσωσης $\displaystyle \lambda = 2\sqrt {1 - \lambda }$ είναι $\displaystyle {\lambda _o} = - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ που απορρίπτεται.

Αν $\displaystyle {x_1} > \lambda$ , τότε $\displaystyle {x_3} = 2\sqrt {1 - {x_2}} = 2\sqrt {1 - 2\sqrt {1 - {x_1}} } > {x_1}$ , διότι $\displaystyle 2\sqrt {1 - 2\sqrt {1 - {x_1}} } > {x_1} \Leftrightarrow .. \Leftrightarrow x_1^4 - 8x_1^2 + 64{x_1} - 48 > 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + 4{x_1} - 4} \right)\left( {x_1^2 - 4{x_1} + 12} \right) > 0$ που ισχύει διότι η τιμή $\displaystyle {x_1} > \lambda$ είναι εκτός των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle {\lambda ^2} + 4\lambda - 4 = 0$ .

Επομένως η υπακολουθία $\displaystyle {x_{2n - 1}}$ είναι γνησίως αύξουσα με $\displaystyle {x_1} > \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_{2n - 1}}$ , που είναι άτοπο. Άρα δεν ορίζεται καλά η $\displaystyle {x_n}$ με $\displaystyle {x_1} > \lambda$

. Όμοια, αν $\displaystyle {x_1} < \lambda$ προκύπτει ότι η υπακολουθία $\displaystyle {x_{2n - 1}}$ είναι γνησίως φθίνουσα με $\displaystyle {x_1} < \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_{2n - 1}}$ που επίσης καταλήγει σε άτοπο.

Επομένως η $\displaystyle {x_n}$ , είναι καλά ορισμένη μέσω της αναδρομικής σχέσης $\displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}}$ , μόνον αν είναι σταθερή, με $\displaystyle {x_n} = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ ,

που σημαίνει ότι $\displaystyle \forall n \in N*:{a_n} = 4\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = c$ .

Τότε (εύκολα) $\displaystyle S = {a_1}\sqrt {{a_2} + {a_3}\sqrt {{a_4} + ..} } = c\sqrt {c + c\sqrt {c + c\sqrt {c + ..} } } \Rightarrow {S^2} = {c^2}\left( {c + S} \right) \Rightarrow S = \frac{{{c^2} + c\sqrt {{c^2} + 4c} }}{2}$

όπου για $\displaystyle c = 4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ δίδει $\displaystyle S = 8\left( {3 - 2\sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)$

Το ότι συγκλίνει η ακολουθία $\displaystyle {y_n} = c\underbrace {\sqrt {c + c\sqrt {c + c\sqrt {c + ..} } } }_{n:{\rm{ \rho \iota \zeta \iota \kappa \alpha }}}$ είναι στοιχειώδες

Ακολουθία και σύγκλιση

Ακολουθία και σύγκλιση

Re: Ακολουθία και σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση