H σειρά συγκλίνει

Tolaso J Kos · #1

Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα ...

Έστω $\{X_n\}_{ n \in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία θετικών όρων η οποία είναι γνήσια αύξουσα ( strictly increasing ) . Για κάθε $n \geq 1$ ας ονομάσουμε W_n

το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων

όρων $X_1, X_2, \dots, X_n$ της ακολουθίας. Δείξατε ότι καθώς το $n \rightarrow +\infty$ το παρακάτω άθροισμα συγκλίνει:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \frac{1}{W_1} + \frac{1}{W_2} + \cdots + \frac{1}{W_n}}$ Edit: Ας όψεται η μετάφραση. Γρηγόρη ευχαριστώ για το σκούντηγμα.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά ... !

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 28, 2017 11:22 am
Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα ...

Έστω $\{X_n\}_{ n \in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία θετικών όρων η οποία είναι γνήσια αύξουσα ( strictly increasing ) . Για κάθε $n \geq 1$ ας ονομάσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων όρων $X_1, X_2, \dots, X_n$ της ακολουθίας. Δείξατε ότι καθώς το $n \rightarrow +\infty$ το παρακάτω άθροισμα συγκλίνει:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \frac{1}{W_1} + \frac{1}{W_2} + \cdots + \frac{1}{W_n}}$ Edit: Ας όψεται η μετάφραση. Γρηγόρη ευχαριστώ για το σκούντηγμα.

Πολλά πράγματα στραβά με την εκφώνηση. Π.χ. θα είχε νόημα το ΕΚΠ μόνο αν τα X_k

ήσαν θετικοί ακέραιοι. Επίσης το

προφανώς πρέπει να αντικατασταθεί με S_n

. Με αυτές τις βελτιώσεις, λέμε:

Για τυπογραφική ευκολία συμβολίζω το ΕΚΠ δύο ακεραίων X,Y

ως

.

Τα μερικά αθροίσματα S_n

της δοθείσας αυξάνουν και μάλιστα είναι φραγμένα από το

$\displaystyle{ \frac{1}{X_1} + \frac{1}{[X_1, X_2]}+ \frac{1}{[X_2, X_3]}+ \frac{1}{[X_3, X_4]} +...+ \frac{1}{[X_{n-1}, X_n]} }$

Στο τελευταίο ο τυπικός όρος πέραν του πρώτου περιέχει το $\displaystyle{[X_k, X_{k+1}] }$ , όπου $\displaystyle{X_k< X_{k+1}}$ . Ο $\displaystyle{[X_k, \, X_{k+1}]}$ είναι πολλαπλάσιο των $X_k, \, X_{k+1}$ οπότε οι $\displaystyle{\frac {[X_k, X_{k+1}]}{X_k}, \, \frac {[X_k, X_{k+1}]}{X_{k+1}}$ είναι ακέραιοι και οι δύο, και ως άνισοι ικανοποιούν $\displaystyle{\frac {[X_k, X_{k+1}]}{X_k}- \frac {[X_k, X_{k+1}]}{X_{k+1}} \ge 1$ . Άρα

$\displaystyle{ \frac {1}{[X_k, X_{k+1}]} \le \frac {1}{X_k}- \frac {1}{X_{k+1}}}$

Τηλεσκοπικά $\displaystyle{\displaystyle{S_n\le \frac {1}{X_1} + \frac {1}{X_{1}}-\frac {1}{X_n} \le \frac {2}{X_{1}}}}$ , και λοιπά.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 28, 2017 11:22 am
Έστω $\{X_n\}_{ n \in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία θετικών όρων η οποία είναι γνήσια αύξουσα ( strictly increasing ) . Για κάθε $n \geq 1$ ας ονομάσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων όρων $X_1, X_2, \dots, X_n$ της ακολουθίας. Δείξατε ότι καθώς το $n \rightarrow +\infty$ το παρακάτω άθροισμα συγκλίνει:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \frac{1}{W_1} + \frac{1}{W_2} + \cdots + \frac{1}{W_n}}$

.
Αλλιώς: Ο αριθμός W_n

έχει διαιρέτες τους

όρους $X_1, X_2, \dots, X_n$ (και ενδεχομένως άλλους). Αν γράψουμε τον W_n

ως γινόμενο πρώτων, $W_n= p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}$ , τότε το πλήθος (όλων) των διαιρετών του είναι, ως γνωστόν, $(1+a_1)\cdot ... \cdot (1+a_k)$ .

Άρα $(1+a_1)\cdot ... \cdot (1+a_k)\ge n$ .

Θα δείξουμε τώρα (γνωστό και έχει διάφορες αποδείξεις αλλά θα κάνω μία κάπως ανορθόδοξη) ότι $(1+a_1)\cdot ... \cdot (1+a_k)\le 2 p_1^{a_1/2}p_2^{a_2/2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k/2} = 2 \sqrt {W_n}$ .

Πράγματι αν p_1=2

τότε από ανισότητα Bernoulli είναι $2 p_1^{a_1/2} = 2(1+1)^{a_1/2}\ge 2( 1+ a_1/2) \ge 1+a_1$ . Επίσης για τα $p_m \ge 3$ είναι για παρόμοιο λόγο $p_m^{a_m/2} \ge (1+2)^{a_m/2}\ge 1+ a_m$ , από όπου το ζητούμενο.

Έτσι έχουμε $2 \sqrt {W_n}\ge n$ , οπότε $\frac {1}{W_n} \le \frac {4}{n^2}$ . To ζητούμενο έπεται από το κριτήριο σύγκρισης.

Tolaso J Kos · #5

Για την ακρίβεια το παραπάνω είναι θεώρημα του Paul Erdös. Η απόδειξη που είχα στο νου μου ήταν η δεύτερη του κ. Μιχάλη.

H σειρά συγκλίνει

H σειρά συγκλίνει

Re: H σειρά συγκλίνει

Re: H σειρά συγκλίνει

Re: H σειρά συγκλίνει

Re: H σειρά συγκλίνει

Μέλη σε σύνδεση