ομοιόμ. συνέχεια τής x^2

#1

Να εξετασθεί αν η συνάρτηση $f(x)=x^2\,, \ x\in\displaystyle\mathop{\bigcup}\limits_{n=1}^{\infty}\left[{2n,\,2n+1}\right]$ , είναι ομοιόμορφα συνεχής.

#2

Γρηγόρη νομίζω ότι δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής για τον ίδιο λόγο που δεν είναι η x^2

. Με $f\left( x\right) =x^{2}$ αφου x>0

είναι
$f\left( x+\delta \right) -f\left( x\right) =\allowbreak \delta \left( 2x+\delta \right)$
Αν λοιπόν υποτεθεί ότι για δοθέντα $\varepsilon$ υπηρχε κατάλληλος $\delta$ ώστε να είναι $\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| <\varepsilon$ όταν $\left| x_{1}-x_{2}\right| <\delta$
θα ήταν $\delta \left( 2x+\delta \right) <\varepsilon$ για όλα τα x>0

δηλαδή θα έπρεπε
$x<\frac{\varepsilon -\delta ^{2}}{2\delta }$ (1)
για όλα τα

από το πεδίο ορισμού της

. Για $\delta <\min \left( \sqrt{\varepsilon },1\right)$ τα $x,\,x+\delta$ ανήκουν στο πεδίο ορισμού της

αλλά για αρκετά μεγάλο

η (1) δεν ισχύει.
Μαυρογιάννης

#3

Μετά τήν απέριττη λύση τού Νίκου, ακόμα μία προσέγγιση:

Άν $A=\displaystyle\mathop{\bigcup}\limits_{n\in\mathbb{N}}\left[{2n,\,2n+1}\right]$ , τότε, γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ , ισχύει $2n+\dfrac{1}{n}\in{A}$ .
Επειδή $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({2n+\dfrac{1}{n}-2n}\right)=0$ καί $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({\left({2n+\frac{1}{n}}\right)^2-({2n})^2}\right)=\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left({4+\frac{1}{n^2}}\right)=4\neq0$ , έπεται ότι η συνάρτηση f(x)=x^2

δέν είναι ομοιόμορφα συνεχής στό $A.\quad\square$

ομοιόμ. συνέχεια τής x^2

ομοιόμ. συνέχεια τής x^2

Re: ομοιόμ. συνέχεια τής x^2

Re: ομοιόμ. συνέχεια τής x^2

Μέλη σε σύνδεση