Ανισότητα ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

china university: Δημοσιεύσεις: 68; Εγγραφή: Σάβ Απρ 28, 2012 7:16 pm

Ανισότητα ακολουθίας

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από china university » Σάβ Ιουν 08, 2013 2:37 pm

Έστω $f_{n}(x)=-1+x+\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{x^3}{3^2}+\cdots+\dfrac{x^n}{n^2}$ ,

(1) Να αποδειχθεί ότι για κάθε $n\in \mathbb{N}^{+}$ , υπάρχει μοναδικός $x_{n}\in[\frac{2}{3},1]$ τέτοιος ώστε
$f_{n}(x_{n})=0$

(2) Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $(x_{n})$ του (1) είναι τέτοια ώστε
$\displaystyle{0<x_{n}-x_{n+p}<\dfrac{1}{n}}$
για κάθε $p\in \mathbb{N}$ .

(3): Αν $x_{n}=A+\dfrac{B}{n}+\dfrac{C}{n^2}+O(\dfrac{1}{n^2})$ , να βρεθούν τα A,B,C

.

Οι προσπάθειές μου :

Για το (1)

, έχω αποδείξει ότι :
$\displaystyle{f_{n}(1)=-1+1+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}>0,}$
$\displaystyle{f_{n}(\frac{2}{3})=-1+\dfrac{2}{3}+\cdots+\dfrac{(\dfrac{2}{3})^n}{n^2}<0}$
και
$\displaystyle{f'_{n}(x)>0}$

Αλλά για τα (2),(3)

, μήπως υπάρχει μια καλή μέθοδος;

τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Σάβ Ιουν 08, 2013 5:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετάφραση από Αγγλικά

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης