Ολοκλήρωμα

vzf · #1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin((\frac{1}{2}+n)t)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt}}$ με $\displaystyle{n\in \mathbb{N}}$ .

#2

vzf έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{sin((\frac{1}{2}+n)t)}{2sin(\frac{t}{2})}dt}}$ με $\displaystyle{n\in \mathbb{N}}$ .

$\displaystyle{{I_n} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{\sin \left( {\frac{1}{2} + n} \right)t}}{{2\sin \frac{1}{2}t}}dt} = \mathop = \limits^{t = 2x} = \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} }$ . Τότε

$\displaystyle{{I_n} - {I_{n - 1}} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} - 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n - 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin \left( {2n + 1} \right)x - \sin \left( {2n - 1} \right)x}}{{\sin x}}dx} = }$

$\displaystyle{ = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos 2nx \cdot \sin x}}{{\sin x}}dx} = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\cos 2nx\,dx} = \frac{2}{n}\left[ {\sin 2nx} \right]_0^{\pi /2} = 0}$ . Επομένως (κάπως πρόχειρα) ..

$\displaystyle{{I_n} = {I_{n - 1}} = {I_{n - 2}} = .. = {I_0} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x}}{{\sin x}}dx} \Rightarrow \boxed{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{\sin \left( {\frac{1}{2} + n} \right)t}}{{2\sin \frac{1}{2}t}}dt} = \pi }}$ .

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση