βραδυνό ολοκλήρωμα 150

mathxl · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}} \,dx,\; n \in {\mathbb{N}^ * }}$

Απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #2

Το ολοκλήρωμα γράφεται ως $\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{ \cos [ (n-1) x] - \cos [ (n+1) x ]}{x^2} \mathrm{d}x}$

Ολοκληρώνουμε την $\displaystyle{\frac{e^{i (n-1) z} - e^{i (n+1) z}}{2z^2}}$ σε ημικύκλιο με κέντρο το

και στο θετικό φανταστικό ημιεπίπεδο. Στο

η συνάρτηση έχει απλό πόλο υπολοίπου

, οπότε το παρακάμπτουμε από τα αρνητικά φανταστικά μέρη. Το ολοκλήρωμα θα έχει τιμή $2 \pi i \times (-i) = 2 \pi$ και θα εκφράζεται ως :

$\displaystyle{\int_{-M}^M \frac{e^{i (n-1) x} - e^{i (n+1) x}}{2x^2} \mathrm{d} x + \int_{- \pi}^0 \frac{e^{i (n-1) \epsilon e^{i \theta}} - e^{i (n+1) \epsilon e^{i \theta}}}{2\epsilon^2 e^{2 i \theta}} i \epsilon e^{i \theta} \mathrm{d} \theta + \int_0^{\pi} \frac{e^{i (n-1) M e^{i \theta}} - e^{i (n+1) M e^{i \theta}}}{2 M^2 e^{2 i \theta}} i M e^{i \theta} \mathrm{d} \theta}$

Παίρνοντας όρια $\displaystyle{M \to + \infty}$ , $\displaystyle{\epsilon \to 0}$ και πραγματικά μέρη καταλήγουμε σε

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{\cos [(n-1) x] - \cos [(n+1) x]}{2x^2} \mathrm{d} x + \pi = 2 \pi}$ , οπότε

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{ \sin x \sin (nx)}{x^2} \mathrm{d} x = \pi}$

#3

Με πραγματική Ανάλυση (Μετασχηματισμοί Laplace).

$\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \left( {n - 1} \right)x - \cos \left( {n + 1} \right)x} \right)\left( {\int\limits_0^\infty {y{e^{ - xy}}dy} } \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {y\left( {\int\limits_0^\infty {\left( {\cos \left( {n - 1} \right)x - \cos \left( {n + 1} \right)x} \right){e^{ - xy}}dx} } \right)dy} =}$

$\displaystyle{= \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {y\left( {\frac{y}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \frac{y}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {y^2}}}} \right)dy} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^M {\left( {\frac{{{y^2}}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + {y^2}}}} \right)dy} =}$

$\displaystyle{= \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \left( {\left( {M - \left( {n - 1} \right)\arctan \frac{M}{{n - 1}}} \right) - \left( {M - \left( {n + 1} \right)\arctan \frac{M}{{n + 1}}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\left( {\left( {n + 1} \right)\frac{\pi }{2} - \left( {n - 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \boxed{\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{\sin x\sin \left( {nx} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \pi }}$ .

βραδυνό ολοκλήρωμα 150

βραδυνό ολοκλήρωμα 150

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 150

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 150

Μέλη σε σύνδεση